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LEHRBUCH
DER
DARSTELLENDEN GEOMETRIE.
VON
Db. CHRISTIAN WIENER,
OBH. HOFBAT IHID PROFX880B AV DSB OBOB8H. TBCHMISCHKIT H0CH8CHULB ZU KABLSBUHB.
IN ZWEI BÄNDEN.
ZWEITER BAND.
KRUBiME LINIEN (ZWEITER TEIL) UND KRÜMME FLÄCHEN. BELEÜCHTÜNGSLEHRE, PERSPEKTIVE.
MIT FIGUREN IM TEXT.
LEIPZIG,
DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER
1887.
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Vorwort.
In dem vorliegenden zweiten und abschließenden Bande werden die krummen Linien und Flächen behandelt. Ich benutze das Vor- wort, um einige Gesichtspunkte zu bezeichnen, welche mich bei der Bearbeitung dieses Stoffes leiteten, und um auf einige Einzelnheiten hinzuweisen.
Die Untersuchungen wurden möglichst geometrisch geführt. Der Begriff der Ordnung einer Linie und einer Fläche und die Bestimm mung der Anzahl ihrer Schnittpunkte und der Ordnung ihrer Schnitt- kurve aus den Ordnungszahlen der gegebenen Gebilde sind analyti- scher Natur. Deswegen wurde die Benutzung derartiger analytischer Sätze möglichst beschränkt und nur bei Gebilden höherer Ordnung zugelassen. Insbesondere wurden die Flächen zweiten Grades rein geometrisch behandelt und dabei als Eegelschnittsflächen betrachtet, d. L als solche Flächen, welche von jeder reell schneidenden Ebene in einem reellen, und, wie dann durch das Polarsystem nachgev^esen wird, von jeder imaginär schneidenden in einem imaginären Kegel- schnitte getroffen werden. Daß solche Flächen von jeder Geraden in zwei Punkten gescimitten werden oder von der zweiten Ordnung sind, leuchtet ein; daß sie aber die einzigen solche Flächen sind, kommt als Satz der Analysis hier nicht in Betracht.
Zur Darstellung der Gebilde erschien, wenn es sich um die Auf- losung von Aufgaben über dieselben handelte, meist das Gnmd' und Aufrißverfahren als das zweckmäßigere und wurde daher in diesen Fällen angewendet. Doch zeigte sich bei geradlinigen Flächen häufig das im ersten Bande angegebene Verfahren der zwei parallelere Spurd>enen, welches nur einer Projektion bedarf, als das zweck- mäßigere. — Wenn aber die Darstellung wesentlich zur Veranschau- lichung dient, findet man die axonometrische imd schiefe Projektion und die Perspektive vorteilhaft, und es wurden deshalb auch diese Darstellungsweisen mit ihren wichtigsten Anwendungen behandelt. Ebenso ist die zur Veranschaulichung dienende Bestimmung des Schattens und der Beleuchtung zugefügt, und insbesondere sind die
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IV Vorwort.
Linien gleicher Beleuchtungsstärke oder die Lichtgleichen für alle Arten der betrachteten Flächen, und zwar in geometrischer Weise, untersucht und konstruirt
Ein wesentliches Gewicht wurde auf die leichte und genaue Ver- zeichnung der Kurven gelegt. Diese Anforderung wird nicht sowohl durch die Konstruktion einer großen Anzahl allgemeiner Punkte erfüllt, als vielmehr durch die Bestimmung der. ausgezeichneten Punkte, wie der Scheitel, der Wendepunkte, der Spitzen, und durch die Ermittelung der Tangenten und der Erümmungskreise in denselben.
Zur Tangentenbesiimmung diente das im ersten Bande, Nr. 204, von mir angegebene Verfahren der ähnlichen Figur, wie ich es pas- send zu bezeichnen glaube. Nach demselben können aus jeder Kon- struktion einer Kurve Tangentenkonstruktionen abgeleitet werden, die zu finden keine Schwierigkeit bietet, bei denen aber die Kunst in der Herstellung möglichst großer Einfachheit besteht. Formel- entwickelungen sind dabei nicht notwendig, aber manchmal zur Ver- einfachung der Konstruktion nützlich. Andererseits wurde in vielen Fällen der KrümmungsJcreis der vorkommenden Kurven bestimmt, und zwar vorzugsweise für den Scheitel, in welchem er wegen seiner vierpunktigen Berührung besonderen Vorteil bietet, jedoch auch manchmal für den allgemeinen Punkt. Es geschah dies geometrisch durch Ermittelung des Verhältnisses des Kontingenzwinkels und des Kurvenelementes oder des Verhältnisses der unendlich kleinen Koor- dinaten des benachbarten Punktes. Nur in einem Falle, bei der Bestimmung der Evolute der Sinuslinie, wurde die analjrtische For- mel des Krümmungshalbmessers benutzt, weil in diesem Falle die geometrische Bestimmung nicht zu einer Vereinfachung geführt hatte. Jene Formel aber wurde geometrisch hergeleitet.
Im Einzelnen bemerke ich, daß der im ersten Bande gegebene Begriff des Unendlichkleinen als GrenmuU auch bei den Flächen durchgeführt wurde. — In Bezug auf die abwickelbaren Flächen weise ich darauf hin, daß ich eine nicht geradlinige abwickelbare Fläche angegeben habe. Es wird zwar in der Analysis bewiesen, daß die abwickelbaren Flächen geradlinig sind-, dieser Beweis beruht aber auf der Voraussetzung, daß die Fläche in jedem ihrer Punkte eine Berührungsebene besitze. Macht man aber diese Voraussetzung nicht, so verliert der Satz seine Giltigkeit. Die hier gegebene nicht geradlinige Fläche wird durch die Kurve der Weierstraßschen Cosinus- funktion erzeugt; und es hat weder diese Kurve in einem allge- gemeinen Punkte eine Tangente, noch die erzeugte Fläche eine Be- rührungsebene. Ich habe die Gleichung der Fläche, welche zwei
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Vorwort. V
unendliche Reihen enthält^ aufgestellt; und obgleich die Fläche selbst nicht modellirbar ist, so ist sie doch vorstellbar und wird durch das Modell des Ausgangsvielflachs veranschaulicht , dessen Abbildung ich zugefügt habe.
Bei den Flächen zweiten Grades spielt die im ersten Bande ge- gebene ImaginärprojeJction eine große Rolle. Durch sie erst wird der Satz allgemein wahr, daß zwei Kegelschnitte einer Fläche zwei- ten Grades Perspektive Kurven bilden. Es wurde eine Anzahl von Konstruktionsaufgaben gelöst, bei denen imaginäre Kegelschnitte vermittelst ihrer ideellen Darstellung ebenso leicht wie reelle be- handelt werden. Die Imaginärprqjektion piner Fläche zweiten Gra- des F aus einem Punkte P, d. i. auch die der F in Bezug auf den Punkt P konjugirie Fläche, ermöglicht die Fortsetzung von Kurven, wie der Berührungskurve mit einem Kegel, über den Punkt hinaus, in welchem sie in einer Projektion abzubrechen scheinen. Und solche konjugirte Flächen kann man auch noch zu anderen Flächen bilden, nämlich zu allen denjenigen, welche aus Kegelschnitten entstehen können, deren Ebenen durch einen und denselben Punkt P gehen. Man wird eine solche Erweiterung bei der Umdrehungsfläche der Sinuslinie ausgeführt finden.
Bei der Bestimmung der Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades tritt im allgemeinen der Mißstand ein, daß für jede benutzte Hilfsebene die Verzeichnung eines Kegelschnittes notwendig erscheint. Dieser Mißstand wurde durch Ersetzen solcher wechselnden Kegelschnitte durch einen einzigen festen beseitigt Was die Gestalt jener Schnitt- linie betrifit, so wurden ihre drei Hauptformen aus den dreierlei Formen des gemeinschaftlichen Polartetraeders der beiden Flächen abgeleitet. Die Abwickelbare der Schnittlinie besitzt bekanntlich eine Doppelkurve, welche aus vier ebenen Kurvenästen von der vierten Ordnung besteht. Es wurde nun gezeigt, daß die Gestalt eines solchen Astes allein von den in derselben Ebene liegenden Elementen der sich schneidenden Flächen abhängt; und aus diesen wurde die Kurve konstruirt und untersucht
Von anderen Flächen, welche behandelt Wurden, möge noch die bisher wenig beachtete topographische oder Terrainfläche erwähnt werden, welche durch ihre Rücken- oder Rinnelinien (oder Wasser- scheiden und Thalwege), durch ihre Linien des kleinsten und des größten Gefälles, und durch ihre Eigenschaften, die man nach ihrer Begründung uüd Verursachung als geometrische und meteorologische unterscheiden kann, großes Interesse bietet.
Auch die Raumkurve vierter Ordnung zweiter Art, die als teil- weiser Schnitt einer Regelfläche zweiten mit einer Regelfläche dritten
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VI Vorwort.
Grades entsteht ^ und die ich noch nirgends dargestellt fand^ erfuhr eine besondere Untersuchung.
Die Krümmung der Flächen wurde eingehend behandelt, dabei auch die Eulersche Kurve in ihren drei Formen, die Krümmung des ebenen Schnittes einer Fläche in seiner Abhängigkeit von der Krümmung der Fläche, namentlich die Evoluten eines ebenen Schnit- tes des Kreisringes und seiner Projektionen. Sodann wurden wesent- lich die Krümmungslinien der Flächen zweiten Grades untersucht, insbesondere ihre Projektionen auf die drei, oder in verallgemeiner- tem Sinne, auf die vier Hauptebenen dieser Flächen, als die Kurven einer Kegelschnittschaar, zu deren Verzeichnung die vorbereitenden Untersuchungen im ersten Bande die Grundlage bilden. Dabei spie- len die sechzehn Nabelpunkte der Fläche, von denen höchstens vier reell sind, eine wesentliche Rolle, und die imaginären erwiesen sich für die Konstruktionen ebenso nützlich, wie die reellen.
Im Übrigen sei zur Gewinnung einer Übersicht über den be- handelten Stoff auf das Inhaltsverzeichnis verwiesen, das ich, um auch einen Einblick in die Art der Behandlung zu gewähren, ein- gehend gehalten habe.
Die Figuren sind wieder von den Zeichnungen des Verfassers photozinkographisch übertragen, außer den beiden vorletzten über die Perspektive des menschlichen Blickes, welche aus der Verofltent- lichung WoUastons entnommen wurden.
Ich hatte im ersten Bande die Absicht ausgesprochen, meine Untersuchungen über die Eelligkeit der Körper im zweiten Bande zu veröffentlichen. Ich beschäftigte mich auch seitdem ein halbes Jahr lang mit der Weiterführung dieser Arbeit, bemerkte aber dann, daß sie zu ausgedehnt für die Aufnahme in den zweiten Band werden und dessen Veröffentlichimg zu sehr verzögern würde, und entschloß mich daher, sie für eine besondere Veröffentlichung vorzubehalten. Über ihren Inhalt bemerke ich, daß im ersten Teile der Arbeit auf Grundlage von Versuchen an einer gegossenen Gipsplatte die Hellig- keit angegeben wird, welche eine solche Oberfläche bei jeder Rich- tung des einfallenden und des ausfallenden Lichtstrahles besitzt, und daß auf dieser Grundlage die Linien gleicher Helligkeit oder die Helle- gleichen einer Kugel konstruirt wurden, welche durch unmittelbare Sonnenbeleuchtung und diejenigen, welche durch den Reflex eines gleichbeschaffenen Bodens von Gips entstehen. Im zweiten Teile werden ebenfalls auf Grund von Beobachtungen die Konstanten einer Formel bestimmt, welche die Helligkeit des klaren Himmels an jeder seiner Stellen und für jede Stellung der Sonne angibt. Auf dieser Grundlage habe ich sodann die Hellegleicben des klaren
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Vorwort. VII
Himmels konstruirt. Dieselben ziehen sich um ihre hellste und dunkelste Stelle herum, von denen die erste, außer bei der unter- gehenden Sonne, unmittelbar neben der Sonne, die zweite, leicht hundertmal dunklere, dieser gegenüber, aber nicht in gleicher Hohe steht. Mittelst dieser Hellegleichen habe ich auf eine nicht schwie- rige, aber der Natur der Sache nach viele Zeit kostende Weise die Stärke der Beleuchtung bestimmt, welche ein Flächenelement durch den klaren Himmel erfahrt, und diese Bestimmungen müssen für verschiedene Stellungen des Elementes fortgesetzt und die Ergeb- nisse in eine zu leichtem Gebrauch geeignete Tabelle gebracht wer- den. Der dritte Teil bezieht sich auf die Nachahmung der Helligkeit durch Tuschlagen ; er führte mich zum Messen der Empfindungs- stärke durch eine Empfindungseinheit/ Die letztere ist dasselbe, wie die von Herrn Pechner in seinen Elementen der Psychophysik aufgestellte Reizschwelle, so daß ich in der Streitfrage über die Meßbarbeit oder Nichtmeßbarkeit der Empfindungsstärke zur Be- jahung geführt werde und in einer solchen Messung die Lösung der vorliegenden praktischen Aufgabe finde. Bei dieser Ausdehnung der Untersuchungen, die ich zum Teil noch durch neue zu ersetzen beabsichtige, wird man es wohl gerechtfertigt finden, daß ich von meiner ursprünglichen Absicht abging, dieselben dem vorliegenden Buche einzuverleiben.
Ich übergebe nun diese Arbeit, die mir langjähriges Mühen, aber auch hohen Genuß bereitet hat, der Öffentlichkeit mit dem Wunsche, daß sie einigen Nutzen stiften möge.
Karlsruhe, 12. Mai 1887.
Chr. Wiener.
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Inhaltsverzeichnis.
Die vorgesetsten Zahlen bedeaton die Nummern;
Zweiter Teil.
Seite
I. Abschnitt.
Die krummen Flächen im allgemeinen; der Cylinder, der
Kegel y die TJmdrehungsflftohe und ihre Berührungsebenen;
die abwickelbare Fläche im allgemeinen.
I. Die krummen Flächen im allgemeinen^ ihre Berührungs- ebenen und Normalen 1
1, 2. Begriff und Darstellung der Fläche. 3. Die Familien der Flächen. Der Cylinder. 4. Der Kegel. 5. Die Umdrehungsfläche. 6. Verschiedene * ebene Schnitte einer Fläche mit gemeinschaftlicher Tangente. 7. Die Be- rührungsebene der Fläche als Ebene aller Tangenten der Fläche in dem- selben Punkte; allgemeiner Fall, besondere Fälle. 8. Die Normale der Fläche. 9. Wahrer und scheinbarer umriß. 10. Cylinder und Kegel wer- den von einer Berührungsebene entlang einer Erzeugenden beröhrt. 11, Berührungsebene und Normale der Umdrehungsfläohe. Einhüllung von Cylindem, Kegeln, Kugeln.
II. Der Cylinder und Kegel, und ihre Berührungsebenen. 8
12. Darstellung des Cylinders aus seiner Leit- und Richtlinie. 13. Be- rührungsebene in einem gegebenen Punkte der Fläche. 14. Berührungs- ebene durch einen außerhalb der Fläche gegebenen Punkt; die Leitlinie sei uneben. 16. Berührungsebene parallel einer Geraden; die Leitlinie liege in einer beliebigen Ebene. 16. Einen durch Leitlinie und Spitze ge- gebenen Kegel darzustellen. 17. Berührungsebene in einem gegebenen Punkte der Fläche. 18. Darstellung eines schiefstehenden geraden Kreis- kegels, sein Schatten für eine Lichtquelle in endlichem Abstände. 19. Be- rührungsebene parallel einer Geraden. 20. Übungsaufgaben.
III. Der Kegel zweiten Grades 16
21. Polare Eigenschaften. Entstehung durch zwei projektive Ebenen- büschel oder Strahlenbüschel. 22. Der Kegel hat im allgemeinen drei, im besonderen unendlich viele (auf einander senkrechte) Axen. 23. Die drei Axen aus der Spitze und einem Leitkegelschnitte c zu bestimmen. Zurück- führen auf die Aufgabe, das gemeinschaftliche Polardreieck zu e und einem imaginären Kreise zu legen. 24. Bestimmung seiner Ecken durch die Schnittpunkte von c mit einem Kreise. 25. Hilfssatz über den zu einer Geraden konjugirten Kegelschnitt eines Kegelschnittbüschels. Auflösung. 26. Übungsaufgaben.
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InbaltsYerzeichnis. IX
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IV. Die UmdrehungBfläohe und. ihre Berahrungsebene. . 23 27. Darstellung der Fläche. 28. Das UmdrehungsellipBoid und seine Berührungsebene in einem gegebenen Punkte. 29. Das einschalige Um- drehuDgshyperboloid entstehend durch, Umdrehung einer Geraden um eine sie nicht schneidende Axe. Seine Darstellung. 80. Die beiderlei Schaaren von Erzeugenden. 31. Erzeugung durch zwei projektive Ebenenbüschel. Jede Ebene schneidet die Fläche in einem Kegelschnitte; der Meridian ist eine Hyperbel. 32. Die Berübrungsebene in einem gegebenen Punkte der Fläche. 38. Hyperbolische, parabolische, elliptische Punkte einer Fläche.
V. Die abwickelbaren Flächen (erster Teil). ... 28 34. Eine krumme abwickelbare Fläche als Grenzgestalt eines abwickel- baren Vielflachs. Erweiterter Begriff des letzteren. 35. Das Vielflach mit geschlossenen Seitenflächen ist abwickelbar, wenn die Summe der Kanten- winkel an jeder Ecke »» 4E ist, die Ecken also nicht konvex sind. Als Beispiel die Zickzackfläche; ihre Gleichung durch Fouriersche Reihen. 36. Übergang der Zickzackfläche in eine nicht geradlinige abwickelbare Fläche mit unendlich kleinen Flächenelementen mittelst der Weierstraß- schen Cosinusfunktion. 37. Das Vielflach mit nicht geschlossenen Seiten- flächen ist stets abwickelbar. 38. Seine Grenzgestalt ist eine geradlinige abwickelbare Fläcbe. Rückkehrkante. Einhüllende Fläche einer beweg- lichen Ebene. Verwandelte einer krummen Linie. 89. Sätze über diese Fläche; 40. Änderung der Krümmung einer Kurve durch die Abwickelung. 41. Ausdruck dafür. 42. Bedingung für einen Wendepunkt der verwandel- ten Kurve. Kürzeste oder geodätische Linie. 43. Bestimmung einer ab- wickelbaren Fläche durch zwei Leitlinien. Leitflächen. Einhüllende Fläche. Richtkegcl. 44. Die Evolutenfläche einer Raumkurvo. 46. Der kürzeste Abstand zweier benachbarten Erzeugenden ist unendlich klein von der dritten Ordnung.
IL Abschnitt.
Der Schnitt des Cylinders und Kegels mit einer Ebene und einer Qeraden und die Abwickelung der Fl&ohe.
L Allgemeines Verfahren 43
46. Allgemeines Verfahren zur Bestimmung des Schnittes einer krum- men Fläche mit einer Ebene oder Geraden.
II. Ebener Schnitt und Abwickelung des Cylinders. . . 44
47, 48. Zwei ebene Schnitte eines Cylinders sind perspektiv-affln. Schnitt eines auf P^ senkrecbten Umdrehungscylinders mit einer auf P, senkrech tf^n Ebene, wahre Gestalt der Kurve und Abwickelung des Cylin- ders. Die Verwandelte der Schnittkm-ve ist eine Sinuslinie. 49—53. Schnitt eines beliebigen Cylinders mit einer beliebigen Ebene, wahre Gestalt und Abwickelung. '64, 65. Von der Verwandelten der Schnittkurve die Krüm- mungshalbmesser in ausgezeichneten Punkten und die Wendepunkte zu bestimmen.
lU. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels. . . 60 56. Zwei ebene Schnitte eines Kegels sind perspektiv- kollinear. 57. Schnitt eines mit seiner Axe senkreckt auf Pj stehenden Umdrehungs- kegels mit einer auf P, senkrechten Ebene, walire Gestalt und Abwicke- lung. Die erste Projektion der Spitze ist der Brennpunkt der ersten Pro- jektion des Kegelschnittes. Der Krüiamungshalbmesser im Scheitel der
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X Inhaltsverzeichnis.
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Haaptaxe der ersten Projektion des Kegelschnittes ist gleich dem Halb- messer eines Parallelkreises, dessen Mittelpunkt in der Schnittebene liegt. 58—61. Wahre Gestalten der Schnittkurve, Abwickelung, Krümmungs- kreise und Wendepunkte der Verwandelten. 62. Die vorhergehende Auf- gabe für den hyperbolischen Schnitt. 63—66. Die Schnittkurve eines schiefen Kreiskegels mit einer Ebene, deren wahre Gestalt und die Ab- wickelung des Kegels. Krümmungskreise und Wendepunkte der Verwan- delten des Grundkreises und der Schnittkurve. 67. Auf einem Kegel zweiten Grades die Kreisschnitte zu bestimmen. 68. Übungsaufgaben. 69. Durch zwei gegebene Punkte eines Umdrehungskegels die geodätische Linie zu legen. Die Tangente, der Krümmungskreis im Scheitel des Grundrisses. Übergang auf den zweiten Flächenast. 70. Die Wendepunkte der Projektionen der Kurve. Der unendlich ferne Punkt der ersten Pro- jektion (auf die zur Umdrehungsaxe senkrechte Ebene) ist ein Wendepunkt der Kurve. Bestimmung der Wendepunkte der zweiten Projektion. 71. Die Schnittpunkte des Kegels mit einer Geraden.
in. Abschnitt Die Flächen zweiten Grades,
I. Allgemeine Eigenschaften und Einteilung der Flächen
zweiten Grades .66
72. Begriff der Fläche zweiter Ordnung. Geometrisch als Kegelschnitts - fläche. 73. Die Polarebene eines Punktes. 74. Die Fläche zweiter Ordnung ist auch zweiter Klasse und heißt zweiten Grades. 75. Der Pol einer Ebene. 76. Konjugirte Punkte, Ebenen u. s.w. 77. Zwei gegenseitige Polaren. 78. Das Polartetraeder. 79. Entstehung der Fläche zweiten Grades durch einen erzeugenden Kegelschnitt. 80. Erweiterung des Begriffes der räumlichen Kollineation. Die kollineare Verwandtschaft zweier räumlichen Systeme ist durch fünf Paare entsprechender Punkte bestimmt. 81. Entstehung der Fläche zweiten Grades aus willkürlich angenommenen Leitelementen. Sie sind entweder mit der Kugel oder mit dem einschaligen Hyperboloide kollinear. 82. Zwei Arten der Flächen zweiten Grades, Nichtregelflächen und Regelflächen. Verschiedene Eigenschaften. 83. Sind die reellen ebenen Kurven einer Fläche Kegelschnitte, so sind es auch die imaginären. Ideelle Darstellung eines solchen. 84. Die Mittelpunktsellipse eines imaginären Kegelschnittes. Die imaginären Kegelschnitte einer Kugel sind imaginäre Kreise. 85. Begriff der räumlichen Imaginärprojektion der Kegelschnitte. Zwei Kegelschnitte mit gemeinsamer Involution konjugirter Punkte auf der gemeinschaftlichen Geraden ihrer Ebenen projiciren sich reell oder imagi- när aufeinander (vier Fälle). 86. Zwei (reelle oder imaginäre) Kegelschnitte einer Fläche zweiten Grades projiciren sich aus zwei Punkten durch reelle oder imaginäre Projektion aufeinander. 87. Zwei Kegelschnitte, welche zwei Punkte gemein haben, und ein Punkt bestimmen eine Fläche zweiten Grades. 88. Mittelpunkt, Durchmesser, Durchmesserebenen der Flächen zweiten Grades, ähnliche Schnitte paralleler Ebenen, reelle, konjugirte Durchmesser, imaginäre (ideelle) Durchmesser. 89. Die Axen; ihre Kon- struktion durch drei konjugirte Durchmesser. 90. Einteilung der Flächen zweiten Grades nach der endlich oder unendlich fernen Lage des Mittel- punktes und dem Reell- oder Imaginärsein der Axen in sechs Arten. 91. Das Ellipsoid. 92. Das einschalige Hyperboloid. 93. Das zweischalige Hyperboloid, und die imaginäre Fläche. 94. Das elliptische Paraboloid. 95. Das hyperbolische Paraboloid.
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InhaltsYerzeicbnis. XI
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n. Eonjugirte Flächen zweiten Grades nnd die Imaginär- projektion im Raame 89
96. Zwei in Bezug auf einen Punkt und eine Ebene konjugirte Flächen zweiten Grades. 97. Dieselben sind Imaginärprojektionen von einander; die Charakteristik ist ». 98. Von zwei konjugirten reellen Flächen ist die eine geradlinig, die andere nicht geradlinig. 99. Die zu einer reellen Fläche zweiten Grades konjugirte imaginäre Fläche zweiten Grades. 100. Die Polarebene eines Punktes zu einer Fläche zweiten Grades und zu ihrer in Bezug auf einen Punkt P und eine Ebene P konjugirte Fläche sind durch P und P harmonisch getrennt. Pol und Polarebene in Bezug auf die konjugirte Fläche. 101. Die Polarebene eines Punktes Q einer Fläche zweiten Grades F in Bezug auf eine der F konjugirte Fläche H ist die Berühruugsebene der F in dem Gegenpunkte Q' des Q auf F. 102. Eine zu einer reellen Fläche zweiten Grades konjugirte imaginäre Fläche wird von jeder Ebene in einem imaginären Kegelschnitte getroffen und ist des- wegen vom zweiten Grade. Ideelle Darstellung einer imaginären Schnitt- kurve. 103. Von zweien in Bezug auf einen Punkt und eine Ebene kon- jugirten Flächen zweiten Grades ist jede zu sich selbst reciprok in Bezug auf die andere. 104. Von einem imaginären Kegelschnitte, dessen ideelle Darstellung in Bezug auf einen Punkt gegeben ist, die ideelle Darstellung in Bezug auf einen beliebigen Punkt seiner Ebene zu konstruiren. 105. Die ideelle Darstellung eines imaginären Kegelschnittes in Bezug auf einen Punkt ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem dieser Punkt innerhalb, auf oder außerhalb der Mittelpunktellipse des i liegt. 106. Das Mittelpunktellipsoid einer imaginären Fläche zweiten Grades. Die ideelle Darstellung der letzteren in Bezug auf einen Punkt ist ein Ellipsoid, ellipti- sches Paraboloid oder zw eischaliges Hyperboloid, je nachdem dieser Punkt innerhalb, auf oder außerhalb des Mitbelpunktellipsoides liegt. 107. Kon- jugirte Flächen zweiten Grades in Bezug auf zwei gegenseitige Polaren. 108. Von zweien in Bezug auf zwei Gerade zu einander konjugirten Flächen zweiten Grades ist jede mit sich selbst reciprok in Bezug auf die andere Fläche. 109. Die vier Fälle zweier in Bezug auf zwei Gerade zu einander konjugirten Flächen zweiten Grades. 110. Vier zu je zwei in Bezug auf zwei Gerade oder in Bezug auf einen Punkt und eine Ebene konjugirte Flächen zweiten Grades (zwei Fälle). 111. Zu einer (möglicherweise ima- ginären) Flächen zweiten Grades, welche als koigugirt zu einer anderen in Bezug auf einen Punkt gegeben ist, die in Bezug auf eine gegebene Gerade konjugirte Fläche darzustellen.
m. Die Berührungsebenen, ebenen Schnitte und Berfih- rungskegel der Flächen zweiten Grades, insbesondere der
Nichtregelfläohen 108
112. An ein durch seine drei Halbaxen gegebenes Ellipsoid in einem durch eine Projektion gegebenen Punkte desselben die Berührungsebene zu legen. Auflösung mit und ohne Verzeichnung von Ellipsen. 113. Die Schnittkurve einer Fläche zweiten Grades mit einer Ebene zu bestimmen für ein zweischaliges Hyperboloid. Auflösung mit und ohne Benutzung von Kegelschnitten. 114. Die Abbildung l des ebenen Schnittes einer Fläche zweiten Grades zu verzeichnen, wenn von der Fläche der Umriß k und von l drei Punkte Cy D^ E gegeben sind; oder einen Kegelschnitt l zu verzeichnen, welcher einen gegebenen Kegelschnitt X; in zwei Punkten be- rührt und durch drei gegebene Punkte C, D^ E geht. Auflösung mittelst Benutzung eines Kegelschnittes. 116. Begriff eines einzelnen imaginären Punktes auf einer Geraden oder auf einem Kegelschnitte in Bezug auf zwei
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XII Inhaltsyerzeichnis.
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gegebene koDJngirte Punkte. 116. Die Azen eines Kegelschnittes zu bestim- men, in Bezug auf welchen P und p als Pol und Polare, die Involution auf p und P, und von welchem noch ein reeller oder imaginärer Punkt gegeben sind. 117. Auflösung der Aufgabe 114 und Bestimmung der Axen von l ohne Benutzung von Kegelschnitten, 1) wenn k eine Ellipse, C, B, E innere oder 2) äußere Punkte von k sind; 118. 3) wenn k eine Hyperbel und C,D,£J innere oder äußere Punkte von k sind; 119. 4) wenn k ein reeller Kegelschnitt, C ein reeller, D, E imaginäre Punkte sind; 120. 6) wenn k reell, C^ B^ E teils innere, teils äußere Punkte des k sind. 121. Hilfs- satz. Sind in einer Ebene die Pole von zwei Geraden m und p in Bezug auf zwei (reelle oder imaginäre) Kegelschnitte k und h bezw. 3f , P und P, M und ist die Involution konjugirter Punkte in Bezug auf k und h auf der m eine gemeinsame, so ist sie auch auf der p eine gemeinsame. 122. In der Aufg. 114 sei 6) k imaginär. 123. Einen Kegelschnitt l zu bestimmen, welcher einen gegebenen Kegelschnitt k in zwei Punkten berührt und außerdem 1) drei gegebene Gerade berührt, 2) zwei Gerade berührt und durch einen gegebenen Punkt geht, 3) eine Gerade berührt und durch zwei geg. Punkte geht. 124. Alle Flächen zweiten Grades, außer dem hyperboli- schen Paraboloide , werden von zwei Schaaren paralleler Ebenen in Kreisen geschnitten. 126. An ein Ellipsoid aus einem außerhalb gegebenen Punkte einen berührenden Kegel zu legen, oder seinen Eigen- und Schlagschatten zu bestimmen. 126. Hilfssatz über Parabeltangenten. Aufg. An ein ellipti- tisches Paraboloid aus einem außerhalb desselben gegebenen Punkte einen berührenden Kegel zu legen, oder seinen Eigen- und Schlagschatten zu bestimmen. 127. Alle ebenen Schnitte oder Berührungskurven umschrie- bener Kegel eines elliptischen oder hyperbolischen Paraboloides projiciren sich auf irgend eine Ebene mittelst Projicirender, die zur Axe der Fläche parallel sind, in ähnliche und ähnlich gelegene Kegelschnitte. 128. Den Umriß einer Fläche zweiten Grades F zu bestimmen, von welcher die Par- allelprojektionen dreier konjugirten Durchmesser gegeben sind. Aufl. 1) mittelst umschriebener Cylinder a) wenn F ein Ellipsoid, 129. b) ein Hy- perboloid ist. ISO. Aufl. 2) mittelst zweier konjugirten Durchmesser des Umrisses, a) wenn F ein Ellipsoid, 131. b) ein Hyperboloid ist. 132. Übungsaufg. 133. Die Schnittpunkte einer Geraden mit einer durch drei konjugirte Durchmesser gegebenen Fläche zweiten Grades zu bestimmen. 134. Die Berührungsebenen durch eine Gerade an eine ebenso gegebene Fläche zweiten Grades zu legen. 136. Zu einer Fläche zweiten Grades die Polar ebene eines Punktes und den Pol einer Ebene zu bestimmen.
IV. Die windschiefen Flächen zweiten Grades.
a) Allgemeines 140
136. Begriff der Regel- oder geradlinigen Flächen. Windschiefe Flä- chen mit drei Leitgeraden; sie sind vom zweiten Grade und werden auch durch zwei projektive Ebenenbüschel erzeugt; 137. ebenso durch zwei projektive Punktreihen. 138. Die beiden Schaaren von Erzeugenden. 139. Die Berührungsebene. Das Büschel der durch eine Erzeugende gelegten Ebenen ist mit der Reihe ihrer Berührungspunkte projektiv. 140. Diese Regelflächen bilden das hyperbolische Paraboloid, wenn die drei Leitgera- den mit derselben Ebene parallel sind, sonst das einschalige Hyperboloid; Grenzfall des Kegels. 141. Bestimmung dieser Flächen durch gerade und kegelschnittf^rmige Leitlinien, sowie durch projektive Punktreihen auf Ge- raden und Kegelschnitten. 142. Diese Bestimmungsstücke können will- .kürlich angenommen werden.
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lohalUverzeichnis. XHl
Seite
b) Das einschalige Hyperboloid 145
143. Das einschalige Hyperboloid darzustellen, yon welchem zwei par- allele und gleiche Ellipsen und eine Erzeugende gegeben sind. 144. Für
ein durch drei Erzeugende derselben Schaar gegebenes einschaliges Hyper- boloid eine Reihe von Aufgaben zu lösen: Zu bestimmen ein Parallelepi- pedum von Erzeugenden, den umriß, den Mittelpunkt, den Asymptoten- kegel, die Berührungsebene durch einen Punkt, die Schnittlinie mit einer Ebene, den Berührungskegel aus einem Paukte, den Pol einer Ebene, die Polarebene eines Punktes, die Schnittpunkte mit einer Geraden. Eine Qerade ^u legen, welche vier gegebene Gerade schneidet. 146. Sätze über das ein- und das zweischalige Hyperboloid und ihre Asymptote nkegel. 146. Das einschalige Hyperboloid ist bestimmt durch 1) zwei sich schnei- dende Gerade und drei Punkte, 2) ein windschiefes Viereck und einen Punkt, 8) zwei sich schneidende Gerade un^ vier Punkte, 4) eine Gerade und sechs Punkte. 147. Besondere Arten des einschaligen Hyperboloides: 1) das orthogonale Hyperboloid und der orthogonale Kegel; sie besitzen zwei Schaaren von Kreisen, deren Ebenen auf den Axen der erzeugenden Ebenen- büschel senkrecht stehen, Erzeugung durch zwei kongruente Ebenenbüschel. 2) Hyperboloid, entstehend aus zwei besonderen projektiven Punktreihen. 148. Übungsaufgaben. 149. Centralpunkt, asymptotische Ebene. 160. Die Striktionslinie des einschaligen Hyperboloides. Die Krümmungskreise ihrer Projektionen auf die Hauptebenen in den Scheiteln der Fläche.
c) Das hyperbolische Paraboloid 157
151. Seine Bichtebene. Ähnliche Punktreihen. 152. Die Fläche aus
zwei mit einer Hauptebene parallelen Parabeln und einer Erzeugenden dar- zustellen. Die Striktionslinie. 163. Die Fläche aus einem windschiefen Vierecke darzustellen.
IV. Abschnitt. Die Umdreliunfi:8fläohen.
I. Der Schnitt einer ümdrehungsfläche mit einer Ebene. . 162 154. Symmetrieaxe der Schnittkurve; auf dieser Axe ist ein Punkt der Kurve im allgemeinen ein gewöhnlicher, im besonderen ein Doppelpunkt oder eine Spitze. 165. Schnitt eines Ringes mit einer Ebene; elliptische, hyperbolische, parabolische Punkte des Ringes. 156. Als Schnittebene wird die Berührungsebene der Fläche in einem hyperbolischen Punkte gewählt. Allgemeine und ausgezeichnete Punkte der Schnittkurve. 157. Die Tan- gente der Kurve in einem gewöhnlichen und in einem Doppelpunkte. Par- allelverschiebung der Schnittebene. 158. Berührt die Schnittebene den Ring in zwei Punkten, so zerföUt die Schnittkurve in zwei Kreise. 159. Die Schnittebene sei mit der Umdrehungsaxe parallel. Fall, in welchem die Schnittkurve die Cassinische Linie wird. 160. Ihre Krümmungakreise für die wichtigsten Punkte. 161. Die drei Gestalten der Cassinischen Linie, darunter die Bernouillische Lemniskate. 162. Übungsaufgaben.
IL Der einer ümdrehungsfläche umschriebene Kegel und
Cylinder. (Schattengrenze.) 169
163. Verfahren, einer Fläche einen Kegel oder Cylinder zu umschrei- ben. An eine abwickelbare Fläche gehen aus .einem außerhalb gegebenen Punkte nur eine endliche Anzahl von Berührungsebenen. Eigen- und Schlagschatten, wahrer und scheinbarer Umriß. 164. An eine Qmdrehungs- fläche ans einem außerhalb gegebenen Punkte den berahrenden Kegel zu
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legen , oder den Eigen- and Schlagschatten zu befitimmen. 166. ümdrehnngs- fläche der Cosinnslinie,* deren Tangenten. 166. Verfahren der umschriebe- nen Hilfskegel. 167. Verfahren der umschriebenen Hilfscylinder. 168. Ver- fahren der umschriebenen Hilfskugeln. Die über den umriß hinaus liegen- den Berührungspunkte. 169. Imaginärprojektion oder konjugirte Fläche der gegebenen ümdrehungsfläche in Bezug auf einen gegebenen Meridian. Die konjugirte Kurve zur Berührungskurve des umschriebenen Kegels. 170. Schlagschattengrenze, ihre Spitzen und Asymptoten. Schlagschatten auf die Fläche selbst. Grenzpunkte. 171. Die Krümmungshalbmesser der Schattengrenzen in ihren Scheiteln. Die konjugirte Kurve hat in ihrem Scheitel den gleichen und entgegengesetzt gerichteten Krümmungshalb- messer, wie die ursprüngliche Kurve. Der Schlagschatten der Eigenschatten- grenze auf die Ebene des Parallelkreises von deren Scheitel hat diesen Parallelkreis zum Krümmungskreise. 172. An einer Umdrehungsfläche bei Parallelbeleuchtung die Eigen- und Schlagschattengrenze zu bestimmen. Beispiel des Binges, dessen Aze J_ F^ steht Das Kegel-, das Cy linder- und das Kugelverfaiiren. ' Die Schlagschatten s^ und «, auf F^ und F,. 173. Bestimmung des Eigen- und des Schlagachattens auf eine zur Aze senkrechte Ebene nachDunesme, wenn der halbe Meridian ein Kegelschnitt ist, dessen Axe paraUel zur ümdrehungsaze steht. 174. Der Grundriß der Eigenschattengrenze ist eine verallgemeinerte Konchoide. Die Subnormale derselben ist gleich der Summe der Subnormalen der Grundkurven. 175. Der Schlagschatten auf P^ ist die äquidistante oder parallele Kurve eines Kegelschnittes. Schlagschatten auf den Bing. Grenzpunkte. 176. Die Eigen- und Schlagschattengrenze des Ringes bei Centralbeleuchtung. Die Projektion 8^ der Eigenschattengrenze 8 auf die Lichtmeridianebene, sowie ihr Grundriß «' und Aufriß «". 177. Die Tangente an s^ in einem allge- meinen und 178. in besonderen Punkten. 179. Die Tangenten bei Parallel- beleuchtung. 180. Die Tangenten an 8' und 8'\ 181. Die Grenzpunkte der Eigenschattengrenze, bestimmt durch eine Fehlerknrve. 182. Die Sohlagschattengrenzen Sj auf Fj und auf der Fläche. 188. Die Krüm- mungskreise der Schattengrenzen in ihren Scheiteln. 184. Verzeichnung der Schattengrenzen des Binges bei Parallelbeleuchtung mit Benutzung der Krümmungskreise in den Scheiteln. Bestimmung des Krümmungshalb- messers von s' aus dem von 8i und der Tangente von 8^; Bestimmung desselben aus einer anschließenden Fläche zweiten Grades. 185. Die kon- jugirten Kurven der Eigenschatt«ngrenzcn. 186. Übungsaufgaben.
III. Die durch eine gegebene Gerade an eine Umdrehungs- fläche gelegte Berührnngsebene 194
187. Bestimmung der durch eine gegebene Gerade gehenden Berührnngs- ebene einer Fläche mittelfit eines oder zweier umschriebenen Kegel. FSr eine abwickelbare Fläche gibt es im allgemeinen keine Auflösung. 188. Durch eine gegebene Gerade an eine Kugel eine Berührungsebene zu legen 1) mittelst zweier umschriebenen Kegel, 2) mittelst eines umschriebenen Kegels, 3) mittelst eines umschriebenen Cylinders. 189. Durch eine ge- gebene Gerade an einen Ring eine Berührungsebene zu legen. Benutzung des durch Drehung der Geraden um die Aze des Ringes entstehenden Um- drehungshyperboloides. 190. Liegt die gegebene Gerade im Unendlichen/ so legt man zwei umschriebene Cylinder. Bei einer Umdrehungsfläche liegen die Berührungspunkte in der Meridianebene, welche auf der die Gerade bestimmenden Ebene senkrecht steht.
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V. Abschnitt.
Die Beleuchtung krummer Flächen im allgemeinen ^ und die des Cylinders ^ des Kegels und der Umdrehungsfl&che im besonderen. •
I. Allgemeines 200
191. Bei der gebräuchlichen Annahme der Lichtstrahlen, bei welcher jede Projektion desselben 45^ mit der Projektionsaxe bildet, gewährt die Bestimmung der Helligkeit nach dem Lambertschen Gesetze eine gute An- näherung an die Wahrheit. 192. Liohtgleichen oder Isophoten. Zehnstufige Stärkereihe. Die beiderseits der Grenzlichtgleiche liegenden Lichtgleichen (±) kommen zur Geltung, je nachdem die Eörpermasse auf der einen oder der andern Seite der Fläche liegt. 193. Bestimmung der Punkte der Licht - gleichen; 1) Verfahren der Berührungsebenen, Tangentialkegel; 2) Ver- fahren der Normalen y Normalkegel.
U. Die Beleuchtung der Kugel, des Cylinders und des Kegels. 203 194. Die Lichtgleichen der Kugel. Büschel der Normalkegel. Schlag- schatten. 195. Die Lichtgleichen einer abwickelbaren Fläche , eines Cylin- ders im allgemeinen, eines auf F^ senkrechten Kreiscy linders. 196. Stärke- maOstab, Normalbüschel, Tangentialbüschel. 197. Die Lichtgleichen eines auf Pj senkrechten und 198. eines schiefen elliptischen Cylinders. 199. Übungsaufgaben. 200. Die Lichtgleichen eines Kegels. Büschel der Tan- gentialkegel. 201. Die Lichtgleichen eines schiefen elliptischen Kegels. 202. Die Lichtgleichen eines auf der Grundrißebene gerade aufgestellten Umdrehungskegels, mittelst des StärkemaOstabes des Kegelkreises bestimmt. Die positiven oder negativen Lichtgleichen liegen auf dem einen Flächen- aste außen, auf dem anderen innen. 203. Schlagschatten im Inneren des oberen Kegelastes und auf F^ und F,. 204. Zweites Verfahren zur Be- stimmung der Lichtgleichen. 206. Die Lichtgleichen eines geneigten üm- drehungskegels, in dessen Inneres Licht eindringt. Schlagschatten ins Innere und auf F| und F, .
UI. Die Beleuchtung der ümdrehungsfläche. . . . 219 206. Die Lichtgleichen einer ümdrehungsfläche, und zwar eines Ringes, dessen Axe _L Fj steht. Das Verfahren der Parallel kreise. Das Verfahren der Meridiane. 207. Berührung von Lichtgleichen durch Meridiane. 208. Verfahren ^r Bestimmung des Krümmungshalbmessers einer Kurve. 209. Die Ghrundrißlichtgleichen des Ringes sind verallgemeinerte Konchoiden. Ableitung des Krümmungshalbmessers der Konchoide aus denen ihrer Grundkurven. Beispiel für zwei Kreise als Grundkurven. 210. Besondere Punkte der verallgemeinerten Konchoide. 1) Berührt der Leitstrahl eine der Grundkurven, so berührt er auch die Konchoide, und es verhalten sich die Ejrümmnngshalbmesser beider Kurven in den Berührungspunkten um- gekehrt wie die Leitstrahlen. 2) Es fallen die Normalen der Kurven in den Leitstrahl. 3) Geht eine Grundkurve durch den Ursprungspunkt, so zerfällt die Konchoide. Doppelpunkt derselben. 211. Anwendung auf die Grundrißlichtgleichen des Ringes. Tangenten, Krümmungshalbmesser in den Scheiteln, Tangenten aus dem Ursprung an die Kurve. Krümmungs- halbmesser der Grenzlichtgleiche in ihren Scheiteln auf der zweiten Sym* metrieaze. 212. Die zerfallende Lichtgleiche. Typuslichtgleiche. 213. Eine andere Art der Bestinunung der Tangente und des Krümmungshalbmessers im Doppelpunkte der Typuslichtgleiche. 214. Die Projektionen der Licht- gleichen des Ringes auf die Lichtmeridianebene. Ihre Tangente im Meri- dianpunkte. Der Krümmungskreis der Grnndrißlichtgleiche im Scheitel.
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Seito
216. Die Lichtgleichen der ümdrehungsflächen zweiten Grades. Das üm- drehungsparaboloid ; die Projektion der Lichtgleichen auf die Leitebene (Direktrixebene) bilden auch deren Schnitt mit' dem Normalkegelbüschelf dessen Spitze im Brennpunkte liegt. Die Scheitel der Kurven. 216. Die GmndriOlichtgleichen sind perspektiv mit dem Büschel koncentrischer Kreise in dem Normalkegelbüschel. Die Scheitel der Nebenaxen liegen auf einer Parabel. Aufriß der Lichtgleichen. 217. Aus dem Grundriß der Axe einer Umdrehungsfläche, dem Grundriß der Grenzlichtgleiche und der Richtung des Lichtstrahles soll man den Grundriß der andern Lichtgleichen und den Aufriß der Fläche und der Lichtgleichen bestimmen. 218. Ver- zeichnung der Lichtgleichen. 219. Verzeichnung des Hauptmeridians durch ein allgemeines Verfahren. 220. Konstruktion des Hauptmeridians für den Fall, daß die halbe Grundrißgrenzlichtgleiche ein Kreis ist. Krümmungs- halbmesser des Hauptmeridians in seinen Scheiteln.
VI. Abschnitt,
Der Dxirchschnitt krummer Fl&ohen mit krummen Fläohen und krummen Iiinien.
I. Allgemeines 243
221. Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Schnittlinie zweier krummen Flächen mittelst Hilfsebenen. Zweckmäßige Annahme derselben. Besonderer Fall von krummen Hilfsflächen. 222. Die Tangente und die Normalebene der Schnittlinie. 223. Die Schnittpunkte einer krummen Fläche mit einer krummen Linie.
n. Der Durchschnitt von Cylindern und Kegeln unter einander.
a) Die allgemeineren Aufgaben .244
224. Durch die Kegelspitzen gelegte Hilfsebenen. Bestimmung der Schnittlinie zweier Cylinder mittelst gleichnamiger Spuren. Ausgezeichnete Punkte. Durchdringen, Ausschneiden. 225. Die Tangente. Spitze der Kurve in einer Projektion. 226. Die scheinbaren Doppelpunkte der Kurve, Bestim- mung der durch sie gehenden Geraden in jeder Projektion. 227. Bestim- mung der Punkte auf der Geraden im Aufriß und 228. im Grundriß. Es gibt zwei reelle oder konjugirt imaginäre scheinbare Doppelpunkte. Eigent- liche Doppelpunkte und isolirte Punkte. 229. Übungsaufgaben. 230. Schnittlinie eines Cy linders und eines Kegels, deren Leitlinien in verschie- denen Ebenen liegen. Beide Flächen sollen eine gemeinschaftliche Berüh- rungsebene, ihre Schnittkurve also einen wirklichen Doppelpunkt besitzen. 231. Die Tangente. 232. Die Tangenten im Doppelpunkte. 238. Die schein- baren Doppelpunkte. 284. Schnittlinie zweier Kegel; beide seien vom zweiten Grade und sollen zwei gemeinschaftliche Berührungsebenen be- sitzen. Die Schnittkurve zerfällt in zwei Kegelschnitte. 286. Die Schnitt- kurve zweier Flächen zweiten Grades ist von der vierteil Ordnung; Fall, in welchem sie in zwei Linien zweiten Grades zerfällt. 286. Die Schnitt- linie zweier Kegel zweiten Grades mit gemeinschaftlicher Hauptebene zu konstruiren und ihre Projektion auf diese Ebene zu verzeichnen. 237. Diese Projektion ist ein Kegelschnitt. 238. Die unendlich fernen Punkte der Schnittlinie. 289. Die unterbrochene Projektion der Schnittlinie auf jenen Kegelschnitt wird ergänzt durch die Imaginärprojektion der Schnittlinie. 240. Unterscheidung der Schnittlinie (vierter Ordnung) zweier Kegel zwei- ten Grades nach dem Reell- oder Imaginärsein ihrer vier unendlich fernen Punkte. 241. Übungsaufgaben, Herstellung von Fadenmodellen.
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b) Die Baumknire dritter Ordnung 261
242. Sie ist die Schnittlinie zweier Kegel zweiten Grades, welche eine
Erzeugende gemein haben. 243. Sie wird aus jedem ihrer Punkt« durch einen Kegel zweiten Grades projicirt; geometrischer Beweis. Analytischer Beweis des allgemeineren Satzes, daß eine Baumkurve n^^ Ordnung aus einem m fachen Punkte der Kurve durch einen Kegel von den (n — m)^^ Ordnung projicirt wird. 244. Eine Baumkurve dritter Ordnung ist durch sechs be- liebige Punkte , welche ihr angehören sollen, bestimmt. Konstruktion der- selben; Tangente, Asymptoten. 245. Einteilung nach ihren unendlich fer- nen Punkten: 1) die kubische Hyperbel, 2) die kubisch -hyperbolische Parabel, 3) die kub. Parabel, 4) die kub, Ellipse. 246. Übungsaufgaben.
in. Der Durchschnitt einer Umdrehungsfläche mit einem Kegel oder einem Cylinder.
a) Der Kegel und die koncentrische Kugek 264
247. Durchschnitt einer ümdrehungsfläche mit einem Kegel, dessen Spitze auf der Axe der ersteren Fläche liegt. Beispiel einer Kugel mit einem koncentrischen Kegel. 248. Tangente, höchste und tiefste Punkte. 249. Die zwei Doppelpunkte des Aufrisses. 260. Abwickelung des Kegels, Tangente, Krümmungskreise der Verwandelten der Leitlinie des Kegels.
b) Die sphärischen Kegelschnitte. 268
261. Ein solcher ist der Ort eines Punktes einer Kugel, für welchen die Summe oder Differenz seiner Abstände nach größten Kreisen von zwei Punkten der Kugel unveränderlich ist. Brennpunkte, Axen. 262. Er ist zugleich Ellipse und Hyperbel. 253. Er wird aus dem Kugelmittelpnnkte durch einen Kegel zweiten Grades projicirt. Umkehrung. 254. Die Tan- gente halbirt den Winkel der LeitstraJilen. 255. Durch jeden Punkt der Kugel gehen zwei sphärische Kegelschnitte mit denselben vier Brennpunkten. 256. Die Schaar der konfokalen sphärischen Kegelschnitte. 257. Zwei gerade Fokalliuien eines Kegels zweiten Grades. Jede auf einer Fokal- linie senkrechte Ebene schneidet den Kegel in einem Kegelschnitte, dessen einer Brennpunkt in der Fokallinie liegt.
c) Die stereographische Projektion 273
258. Begriff. 1) Bei derselben bilden zwei Linien auf der Kugel den- selben Winkel wie ihre Projektionen. 2) Die Projektion eines Kreises k der Kugel ist wieder ein Kreis, dessen Mittelpunkt die Projektion der Spitze des der Kugel nach k umschriebenen Kegels ist.
d) Die allgemeine Au^be 273
269. Die Schnittlinie einer Umdrehungsfläche mit einem beliebigen Kegel. 260. Ausgezeichnete Punkte. 261. Übungsaufgabe.
IV. Der Durchschnitt zweier Umdrehungsflächen unter
einander 275
262. Schnitt von koaxialen Flächen. Schnitt zweier Umdrehungs- flächen, deren Axen sich treffen. 263. Sind beide Flächen zweiten Grades, so ist die Projektion der Schnittkurve auf die Ebene beider Axen ein Kegelschnitt, und zwar bei EUipsoiden eine Parabel, wenn die Axen par- allel sind, andernfalls eine Hyperbel oder Ellipse, je nachdem beide Flächen gleichartig oder ungleichartig sind (verlängert, abgeplattet). 264. Die Doppelpunkte der ersten Projektion der Schnittkurve. 265. Die Schnitt- punkte zweier Ellipsen zu bestimmen, deren Axenlinien paarweise in ein- Wiener, Lehrbuch der daratellenden Geometrie. IL b
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ander liegen, 1) analytisch, 2) geometrisch, 3) geometrisch in allgemeiner Form als Schnittpunkte zweier koncentrischen Ellipsen. 266. Die Tangente der Schnittkurve der beiden ümdrehungsflächen mittelst der Normalebenen. Krümmungshalbmesser in den Scheiteln. 267. Übungsaufgaben. 268. Die Schnittlinie zweier Umdrehungsellipsoide zu konstruiren, deren Umdrehungs- axen sich nicht schneiden; mittelst Hilfsebenen, deren Schnitte mit beiden Flächen sich als Kreise projiciren. 269. Tangente der Schnittkurve, Dop- pelpunkte der Projektion der Schnittlinie. 270. Übungsaufgabe für be- liebige Umorehungsflächen.
V. Der Durchschnitt zweier Flächen zweiten Grades
unter einander 285
271. Auflösung mittelst eines festen Kegelschnittes und wechselnden Kreisen oder Geraden. 272. Schnittlinie eines Ellipsoides mit einem ellipti- schen Paraboloide. 273. Die Tangente. Die scheinbaren Doppelpunkte. 274. Übungsaufgaben. 275. Die als Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades gebildete Raumkurve vierter Ordnung kann zerfallen 1) in zwei Kegelschnitte, 2) in eine Gerade und eine Baumkurve dritter Ordnung, 3) in zwei Gerade und einen Kegelschnitt, 4) in vier Gerade. 276. Haben zwei Regelflächen zweiten Grades eine Gerade gemein, so ist der Rest der Schnittkurve eine Raumkurve dritter Ordnung. 1) Dieselbe wird durch drei projektive Ebenenbüschel erzeugt; 2) sie wird von den Erzeugenden der einen Schaar der Regelfläche zweiten Grades, auf welcher sie liegt, in einem, von denen der andern in zwei Punkten geschnitten; 3) sie wird aus jedem ihrer Punkte durch einen Kegel zweiten Grades projicirt; 4) die Sekanten und die durch die Kurve gehenden Regelflächen zweiten Grades ; 5) zwei Kurven dritter Ordnung auf derselben Regelfläche zweiten Grades schneiden sich in vier oder in fünf Punkten; 6) imaginäre Schnittpunkte zweier solchen Kurven. 277. Durch die Schnittlinie zweier Flächen zwei- ten Grades können vier Kegel zweiten Grades gelegt werden. Besonderer Fall für koaxiale Flächen. 278. Die Spitze eines doppelt projicirenden Kegels der Schnittkurve hat eine gemeinschaftliche Polarebene zu beiden . Flächen und umgekehrt. Zwei Flächen zweiten Grades besitzen im allge- meinen ein gemeinschaftliches Polartetraeder; seine Ecken sind die Mittel- punkte jener vier Kegel; seine Flächen enthalten Äste der Doppelkurve der Abwickelbaren der Schnittkurve. 279. Hilfssatz: Ein geschlossener Linienzng ist paar oder unpaar, je nachdem er von einer und dann von jeder Ebene in einer geraden oder ungeraden Anzahl von Punkten geschnit- ten wird. 280. Die Fälle in Bezug auf das gemeinschaftliche PolartetFaeder zweier Flächen zweiten Grades und jener vier Kegel A. Die vier Ecken sind reell. 1) Die vier Kegel sind reell; die Schnittkurve besteht aus zwei paaren Asten; 2) zwei Kegel sind reell; die Schnittkurve ist imaginär. 281. B. Zwei Ecken sind reell, zwei Kegel reell, zwei imaginär; die Schnittkurve besteht aus einem paaren Aste. 282. C. 4) Die vier Ecken und die vier Kegel sind imaginär; die Flächen zweiten Grades sind Regel- flächen; die Schnittkurve besteht aus zwei geschlossenen unpaaren Ästen.
283. Die Tangenten und Schmiegungsebenen der Schnittkurve in ihren Schnittpunkten mit den Flächen des gemeinschaftlichen Polart etraed er s.
284. Darstellung der Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades, wenn sie aus zwei paaren Ästen besteht; Tangente, Krümmungshalbmesser im Scheitel ; 285. wenn sie aus einem Aste besteht ; die scheinbaren Doppelpunkte ; 286. wenn sie aus zwei unpaaren Ästen besteht. 287. Asymptoten. 288. Die Doppelkurve der Abwickelbaren der Schnittlinie zweier Flächen zwei- ten Grades besteht aus vier ebenen Ästen. Konstruktion eines Astes aus dem Kegelschnitte (Grundkurve), welcher dem einen der vier Kegel angehört.
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und aus zwei Geraden, welche einem der drei anderen Kegel angehören. 1. Fall. Beide Gerade schneiden den Kegelschnitt reell. Die Doppelkorre berQhrt die Grondkarve reell in vier Punkten. Jede der drei Ecken des Polartetraeders ist Doppel- und Wendepunkt der Doppelkurve. Der Ast ist von der vierten, die ganze Doppelkurve von der sechszehnten Ordnung. 289. Die Tangente der Doppelkurve, die Asymptoten. 290. Die Krüm- mungshalbmesser der Doppel- und der Grundkurve in einem Punkte gegen- seitiger Berührung verhalten sich wie —1:3. 291. 2. Fall. Beide Gerade schneiden die Grundkurve imaginär (wobei die Schnittkurve der Kegel reell oder imaginär sein kann). 292. 3. Fall. Die eine Gerade schneidet die Grundkurve reell, die andere imaginär. Vier Asymptoten, ihre Kon- struktion durch Fehlerkurven.
VI. Die Imaginärprojektion der Schnittlinie zweier Flächen
zweiten Grades 3t7
293. Die Schnittlinie k zweier Flächen zweiten Grades hat zu ihrer Imaginärprojektion aus einem Eckpunkte des gemeinschaftlichen Polar- tetraeders beider Flächen die Schnittlinie l der Imaginärprojektionen bei- der Flächen, k und Z werden durch denselben Kegel bezw. reell und ima- ginär projicirt; sie haben in jedem ihrer Berührungspunkte gleiche Krüm- mungshalbmesser. 294. Die imaginäre Schnittlinie k zweier Flächen zweiten Grades durch einen reellen Kegel zweiten Grades (doppelt) zii projiciren und die (reelle) Imaginärprojektion l von k zu bilden. 296. Von der reel- len Schnittlinie I zweier Flächen zweiten Grades die Imaginärprojektion tn aus einem Punkte zu bilden, aus welchem I nur durch einen Teil des Kegels reell projicirt wird. 296. Übungsaufgaben.
YII. Bestimmung einer Fläche zweiten Grades durch neun Punkte. Büschel und Schaai^en von Flächen zweiten Grades. 321 297. Hilfssätze über die Projektivität zwischen involutorischen und ein- fachen Gebilden (ein-zweideutig verwandte Gebilde). 1) Begriff. Eine in- volutorische PunlAreihe eines Kegelschnittes heißt projektiv mit dem Strahlenbüschel, von welchem jeder Strahl durch zwei zugeordnete Punkte geht 2) Die Involution der Elementenpaare ist projektiv mit dem Gebilde der einfachen Elemente^ deren jedes von einem festen Elemente durch die zwei Elemente eines Paares harmonisch getrennt ist. 3) Die projektive Beziehung eines involutorischen zu einem einfachen Gebilde ist durch fünf Paare einfacher entsprechender Elemente bestimmt. 4) Zwei solche, d. i. auch ein-zweideutige, Gebilde auf demselben Träger besitzen drei Doppel- elemente. 5) Alle einfachen und alle involutorischen Punktreihen, welche ein Kegelschnittbüschel auf Geraden einschneidet, sind unter einander pro- jektiv. 6) Alle Kegelschnitte, welche durch die zwei Punkte je eines Paares einer geraden involutorischen Punktreibe und durch drei feste Punkte gelegt werden, gehen auch durch einen vierten festen Punkt und bilden ein Kegelschnittbüschel. 7) Alle Kegelschnitte, . welche durch die vier Punkte je zweier entsprechendeh Paare von zwei Perspektiven Punktinvo- lutionen von Geraden und durch einen festen Punkt gehen, bilden ein Kegelschnittbüschel. 8) Das Büschel der Kegelschnitte, welche durch die sechs Punkte dreier entsprechenden Paare von drei Perspektiven Punkt- involutionen von Geraden gehen. 298. 1) Durch acht Punkte des Raumes geht eine einzige Raumkurve vierter Ordnung, und durch diese können unendlich viele Flächen zweiten Grades gelegt werden. 2) Durch neun beliebige Punkte des Raumes geht eine einzige Fläche zweiten Grades. Jene Kurve und diese Fläche zu konstruiren. 299. Das Büschel der Flä- chen zweiten Grades , welches durch dieselbe Raumkurve vierter Ordnung
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geht. Die vier Kegel zweiten Grade8, welche darin enthalten sind. Eine Gerade schneidet das Büschel in einer Involution von Punktepaaren oder in einer damit projektiven einfachen Pnnktreihe. Durch einen gegebenen Punkt die Fläche des Flächenbüschels zu legen. Die polaren Eigenschaften des Büschels. 300. Die Fläche vierter Klasse, welche die gemeinschaft- lichen Berührungsebenen zweier Flächen zweiten Grades einhüllt. Die Schaar von Flächen zweiten Grades.
Vn. Abschnitt.
Die Beleuohtang der Fl&ohen zweiten Grades. . . . 832
301. Die Lichtgleichen einer Fläche zweiten Grades werden aus deren Mittelpunkte durch Lichtgleichenkegel vom zweiten Grade projicirt xmd sind daher Kurven von der vierten Ordnung. Das Büschel der Lichtgleichen- kegel ist kollinear mit dem Büschel der Normalkegel. 302. Die Nnllebene, die Axe des Büschels der Lichtgleichenkegel und die drei Axenlinien der Fläche zweiten Grades bestimmen das Büschel der Lichtgleichenkegel. Dieses Büschel für die verschiedenen Flächen zweiten Grades. 303. Die Licht- gleichen des elliptischen Paraboloides; ihr Grundriß ist ein Kegelschnitt- büschel. Seine Bestimmung aus dem des Umdrehungsparaboloides. 304. Die Lichtgleichen des Ellipsoides. Bestimmung des Büschels der Licht- gleichenkegel. 306. Sein Schnitt mit der Fläche. 306. Die Tangente einer Lichtgleiche. Die Grenzlichtgleiche. 307. Ver&hren mit Vermeidung der Verzeichnung des Kegelschnittbüschels.
Vm. Abschnitt Die BolUinien und die Schraubenlinie.
L Die Rolllinien 343
308. Begriff. Feste und wälzende Kurve. Tangente, Normale. Pol, Polbahn, Polkurve. 309. Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes der Rolllinie aus denen der festen und der wälzenden Kurve. 310. Projektive Punktreihen des beschreibenden Punktes und des Krümmungsmittelpunktes der Rolllinie. Sätze. Wendekreis. 311. Krümmungsmittelpunkt einer Hüll- bahnkurve. 312. Gestalt der Rolllinie ^ Ursprungspunkt, Gang. 313. Cy- klische Kurve oder Radlinie. Die zwölf Fälle. 314. Die gemeine Cykloide. Konstruktion. 316. Krümmnngsmittelpunkt. Die Evolute der Cykloide ist eine mit ihr kongruente Cykloide. Bogenlängen. 316. Die Kreisevolvente. 317. Die Epicykloide. 318. Doppelte Entstehungs weise. 319. Ihre Evolute ist ebenfalls eine Epicykloide. 320. Rektifikation der Kurve. 321. Die Hypo- cykloide; sie kann eine Gerade werden. 322. Die geschweifte Cykloide. Krümmungsmittelpunkt. 328. Die besonderen Punkte der Kurve. Die Scheitel, die Wendepunkte. 324. Die Punkte der größten Krümmung. 325. Die Evolute. 326. Die verschlungene Cykloide. Ihre Evolute. Ihre Doppelpunkte. 327. Die geschweifte Kreisevolvente. Krümmungsmittel- punkt. 328. Ihre Scheitel, Wendepunkte, Punkte der größten Krümmung. 829. Die Schnittpunkte der Evolute mit dem festen Kreise. Andere Ent- stehungsweise der geschweiften und der verschlungenen Evolvente. 830. Die verschlungene Kreisevolvente. 831. Die Archimedische Spirale. 332. Ihre Tangente und Evolute. Ihre Doppelpunkte. 833. Die Sinus- oder Cosinus- linie. Ihre Evolute. Geometrische Herleitung der analytischen Fortnel für den Krümmungshalbmesser einer Kurve.
IL Die Schraubenlinie 365
334. Die Schraubenlinie ist die geodätische Linie des Cylinders. Neigung der Schraubenlinie, ihre Tangente und Subtangente. Die Spuren der Tan-
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f^enten in einer Normalebene bilden die Evolvente des NormalschnitteB des Cylinderfi. 835. Die Schraubenlinie auf geschlossenem Cylinder, Schran- bengang, Ganghöbe. Die Schranbenlinie auf dem ümdrehungscylinder ist in sich selbst verschiebbar. Schraubenbewegung. 836. Die Schraubenlinie eines Umdrehungscylinders mit einer auf Pj senkrechten Axe darzustellen. 337. Ihre zweite Projektion ist eine Sinusliuie. 338. An eine gegebene Schraubenlinie parallel einer gegebenen Ebene eine Tangente zu legen. 339. Krümmungshalbmesser der Schraubenlinie. 840. Der Ort der Krüm- mungsmittelpunkte einer Schraubenlinie ist wieder eine Schraubenlinie. 341. Die schiefe Projektion oder der Parallelschatten einer Schraubenlinie auf eine Normalebene der Schraubenaxe ist eine gemeine, geschweifte oder verschlungene Cykloide. 342. Die Krümmungshalbmesser dieser Kurven, sowie ihrer affinen Kurven, in ihren Scheiteln.
IX. Abschnitt.
Die abwiokelbajren Flftchen (zweiter Teil)^ die gemeinsohaft- liohen Berührungsebenen mehrerer Flächen, die topographi- sche, die ITmhüllungsfläohe; Beleuchtung solcher M&chen.
I. Die abwickelbare Schraubenfläche 373
343. Begriff als Abwickelbare einer Schraubenlinie. 344. Schrauben- bewegnng; allgemeine Schraubenfläche, SchraubenkOrper. Ein Punkt einer beweglichen Schranbentangente beschreibt bei deren Hingleiten auf der Schrau- benlinie ebenfalls eine Schraubenlinie, bei deren Hinrollen eine Kreisevolvente. Doppellinien der Fläche. Berührungsebene. 346. Die Schnittlinie der ab- wickelbaren Schraubenfläche mit einer Ebene. Tangente, Spitzen der Kurve, Asymptoten. Hyperbolische, parabolische Kurvenäste, spiralförmige Kurve. Doppelpunkte. 346. Abwickelung der Schraubenfläche. Die Schrauben- linien werden zu koncentrischen Kreisen, die Kreisevolventen zu Kreis- evolventen. 347. Die Verwandelte der Schnittkurve, ihre Wendepunkte. 348. An eine abwickelbare Schraubenfläche durch einen außerhalb gegebe- nen Punkt eine Berührungsebene zu legen. 349. Übungsaufgaben. 860. Die Lichtgleichen der abwickelbaren Schraubenfläche.
IL Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen mehrerer Flächen und die abwickelbare Umhüllungsfläche zweier. . 381
361. Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen zweier nicht abwickel- baren Flächen; sie werden von einer abwickelbaren Fläche eingehüllt, welche beiden Flächen umschrieben ist. Mehrere Äste derselben. Ist eine von beiden gegebenen Flächen abwickelbar, so ist die Anzahl der gemein- schaftlichen Berührungsebenen im allgemeinen endlich. 362. Die gemein- schajftliche Berührungsebene an drei nicht abwickelbare Flächen. 363. Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen einer abwickelbaren und einer nicht abwickelbaren Fläche, 364. z. B. eines Umdrehungskegels und einer Kugel. 366. Cbungsaufgaben. 866. Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen dreier Kugeln.
• in. Die Fläche des Schattens und des Halbschattens. . .385
367. Volles Licht, voller Schatten, Halbschatten. 368. Die abwickel- baren Flächen, deren Leitfiächen oder Leitlinien vom zweiten Grade sind, sind von der vierten Klasse. Sie besitzen vier Kegelschnitte als Doppel - kurven. Übungsaufgabe.
IV. Die Fläche von gleichförmiger Neigung. . . . 387 369. Begriff. Ihre Berührungsebenen sind gleich geneigt gegen die Horizontalebene. Die Fläche ist abwickelbar mit einem Umdrehungskegel
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als Bicbtkegel. Die Erzeugenden als Normalen der Horizontalspnr der Fläche. Der Umriß der Fläche ist die Evolute der Horizontalspur. Die Fläche ist eine allgemeine abwickelbare Schraabenfläche ; sie ist gegeben durch eine Leitlinie oder Leitfl&che und die Größe der Neigung. 360. Ist die Leitlinie oder Leitfläche vom zweiten Grade, so ist die Fläche, von gleichförmiger Neigung von der vierten £lasse. Sie besitzt vier Doppel- kegelschnitte. Übungsaufgaben.
V. Die topographische Fläche 388
361. Sie wird durch kotirte Projektionen dargestellt. Die Niveauflächen. Gleiche Schichthöhen, wenn die Niveauflächen als koncentrische Kugeln oder Ebenen angesehen werden. Schichtflächen. Horizontallinien. Verti- kaler Schnitt der Fläche. Berührungsebene. Das Gefälle. '362. Die Fall- linien. Verlauf der Horizontal- und der Falllinien. Höchster und tiefster Punkt, Sattelpnnkt. Bodenkante. Die Horizontal- und die Falllinie bilden im Grundriß eine Schaar senkrechter Trajektorien. 363. Binnelinie (Thal- weg) und Rückenlinie (Wasserscheide). Begriffl Sie werden durch Um- kehruDg des Sinnes des Zunehmens der Höhenzahlen in einander verwan- delt. Sie beginnen in einem Flachpunkte einer Horizontallinie. Teilung eines abwärts gehenden Bergrückens und Ursprung eines Thaies.. 364. Die Linie des größten oder kleinsten Gefälles der Fläche entlang einer Hori- zontallinie ist die Linie der Wendepunkte der Falllinien. Die Linie des kleinsten Gefälles verläuft nahe bei der Rücken- oder Rinnelinie auf ihrer erhabenen Seite, in besonderen Fällen in denselben, die des größten in Mitten der Abhänge. 365. Linien der größten und kleinsten Horizontal- krümmung. 366. Bedingtheit der Gestalt der topographischen Fläche durch geologische und meteorologische Vorgänge. Bei Stetigkeit, der Vorgänge entstehen stetige Flächen. Aus der Stetigkeit folgen geometrisch die Eigen- schaften: die Falllinien haben im allgemeinen Wendepunkte in den höch- sten und tiefsten Punkten. In demselben schneiden sich eine Linie des größ- ten und eine des kleinsten Gefälles senkrecht, und es gehen im allgemeinen von einem höchsten Punkte zwei Rückenlinien in entgegengesetzten Rich- tungen aus, aber keine Rinnelinien, und umgekehrt von einem tiefsten Punkte. Ausnahme bei Kugelforin. In einem Sattelpunkte schneiden sich senkrecht eine Rücken- und eine Rinnelinie unter Halbirung der Winkel der Hori- zontallinien. 367. Meteorologischer Natur ist die Eigenschaft des Ab- und Anschwemmens. Trennung der abwärts gehenden Rückenlinien und Ver- einigung der Rinnelinien im Hochland, umgekehrt im Tiefland. 368. Grund- aufgaben über die topographische Fläche: 1) die Schnittlinie mit einer Ebene; 2) Schnittpunkt mit einer Geraden; 3) auf die Fläche durch einen Punkt eine Linie von gegebenem Gefälle zu legen; 4) zwischen zwei Punkte eine Linie von gleichförmigem Gefälle zu legen. 369. Über einen geneig- ten Boden einen Damm für eine steigende Eisenbahn mit gleichförmiger Böschung der Seitenflächen zu legen.
VI. Die Umhüllungsflächen 402
370. Entstehung der Umhüllungsfläche einer sich bewegenden Fläche. Charakteristik. Rückkehrkante. 371. Umhüllte Kegel, Cylinder und Kugeln. 372. Röhrenfläche; ihre Charakteristik ist ein unveränderlicher Kreis. Die senkrechte Projektion des Umrisses ist eine Parallelkurve zur Projektion der Leitlinie. 373. Die Röhrenfläche, deren Leitlinie eine Kreisevolvente ist. Die Doppelkurve. 374. Übungsaufgabe. 376. Die Schraubenröhren- fläche, ihre Leitlinie ist eine Schraubenlinie. Umrisse. Spitzen des schein- baren Umrisses. 376. Die Krümmungshalbmesser in den Scheiteln der ersten Projektion des zweiten Umrisses. Verschiedene Gestalten der
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Röbrenfläche. 377. Obnngsaufgabe. 378. Die Liohtgleichen der Röbren- fläche. ÜbaDgsaufgaben.
X. Abschnitt. Die windsohiefen Fläohen«.
1. Allgemeines 410
379. Ihre Entstehungsweise aus Leitlinien, Leitflächen n. s. w. 380. Berührung zweier windschiefen Flächen entlang einer Erzeugenden. 381. Das Berflhrungshyperboloid, das Normalenparaboloid. 382. Für eine Er- zeugende ist das Büschel der durch sie gelegten Ebenen und die Reihe ihrer Berührungspunkte projektiv. Die Berührungsebene für einen gegebe- nen Punkt zu konstruiren. 383. Die asymptotische Ebene und Fläche. 384. Centralpunkt und Parameter einer Erzeugenden. Striktionslinie. 386. Ebener Schnitt und umschriebener Kegel einer windschiefen Fläche. Die wind- schiefe Fläche von der n*«** Ordnung ist auch von der n^^ Klasse ; sie heißt vom n^° Grade. 386. Vielfache Linien. Kante, Kuspidalpunkt. 387. Ana- lytische Sätze über die Ordnung und Klasse von Linien und Flächen, die Anzahl ihrer bestimmenden und ihrer gemeinschaftlichen Punkte, die Ord- nung der Schnittlinien von Flächen, das Zerfallen der Linien und Flächen in solche von niederer Ordnung. 388. Der Grad einer windschiefen Fläche hängt von der Ordnung ihrer drei Leitlinien und von der Anzahl ihrer gemeinschaftlichen Punkte ab. Viel&chheit der Leitlinien.
IL Das Konoid, seine Schattengrenzen und Lichtgleichen. 420 389. Begriff. Richtebene. Kante. Kuspidalpunkt. 390. Das gerade Kreiskonoid. 391. Seine Berührungsebene. 392. Die Lichtgleichen einer windschiefen Fläche. 393. Die Lichtgleichen des Kreiskonoides. Das Ver- fahren. 394. Die Eigenschattengrenze. 396. Die Helligkeit in den Punk- ten der unendlich fernen und der endlich fernen Leitgeraden. 396. Be- stimmung der Lichtgleichenpunkte auf den Erzeugenden mittelst eines wechselnden Tangentialbüschels auf Grundlage eines gemeinschaftlichen Stärkemaßstabes. 397. Die Gestalten der Lichtgleichen. Die Typuslicht- gleichen sind Kanten. 398. Die Schlagschatten der Fläche auf Pj , P, und ins Innere der Fläche, ihre Tangenten. 399. Das schiefe Kreiskonoid, seine Kanten und Kuspidalpunkte. 400. Seine Striktionslinie. 401. Seine ebenen Schnitte, deren Tangenten. Eine Schaar von Ellipsen liegt in den Ebenen eines Büschels, dessen Axe durch die Schnittpunkte der Leitgeraden mit der Ebene des Leitkreises geht. 402. Übungsaufgaben.
in. Die WClbfläche des Eingangs in einen runden Turm. . 436 403. Begriff. Ihr Schnitt mit einem Ringe. 404. Die Tangente der Schnittlinie. 406. Eine Projektion der Schnittlinie ist eine Archimedische Spirale.
VI. Die gerade Normalenfläche einer Fläche zweiten Grades. 4.S8 406. Die Normalenfläche wird durch die Normalen einer Leitfläche entlang einer Leitlinie gebildet. 407. Die gerade Normalenfläche einer Fläche zweiten Grades. 408. Sie hat einen Kegelschnitt k und zwei mit den Axen des A; parallele Gerade, welche die senkrecht zur Ebene des k durch dessen Mittelpunkt gelegte Gerade schneiden , zu Leitlinien. Sie ist vom vierten Grade. Vier Kanten und Kuspidalpunkte. k als Ellipse, Para- bel, Hyperbel. 409. Die mit der Ebene von k parallelen Ebenen schneiden die Fläche in Kegelschnitten. Der Richtkegel ist vom zweiten Grade.
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Der Normalkegelschnitt. 410. ümkebrung: Eine Fläche mit den in Nr. 408 bezeichneten Leitlinien ist eine Normalenfläche. Konstruktion ihres Nor- malkegelschiiittes. 411. Die Be^hmngsebenen der Fläche. 412. Die Asymptoten- und die Centralebene für eine Erzeugende. Die Striktions- linie ist die Berührnngslinie des aus der Spitze des Leitkegels der Fl3,che umschriebenen Kegels. •413. Der erste Umriß der Fläche hat die Evolute eines Kegelschnittes zur ersten und eine Neilsche Parabel zur zweiten Pro- jektion. 414. Der scheinbare Umriß der Fläche bei ihrer Parallelprojektion ist ein Kegelschnitt, wenn die Projicirenden senkrecht auf der Flächenaxe stehen. 415. Untersuchung der besonderen Gestalt dieses Umrißkegel- schnittes.
y. Die Eegelfläche dritten Grades und die Baumkurve vierter Ordnung zweiter Art.
' a) Die Regelfläche dritten Grades 447
416. Die Leitlinien sind zwei Gerade d, e und ein Kegelschnitt k, wobei d den k schneidet. Durch jeden Punkt von d und e gehen bezw. zwei und eine Erzeugende, in jeder durch d und e gehenden Ebene liegen bezw. eine und zwei Erzeugende. 417. Erzeugung der Fläche durch zwei ein-zweideutige Ebenenbüschel. 418. Erzeugung durch die Verbindungs- linien entsprechender Punkte 1) zweier projektiven Punktreihen auf einem Kegelschnitte k und einer im allgemeinen den k nicht schneidenden Ge- raden e; 2) einer involutorischen Punktreihe auf einem Kegelschnitte k und einer damit projektiven einfachen Ponktreihe auf einer den k schneidenden Geraden d. 419. Andere Entstehungsweisen mittelst Kurven dritter Ord- nung. 420. Die Cayleysche Fläche mittelst zweier projektiven nicht Per- spektiven Pnnktreihen auf einem Kegelschnitte k und auf einer den k schneidenden Geraden e, Kuspidalpnnki Fall des einschaligen Hyper- boloides. 421. Jede Regelfläche dritten Grades entsteht auf die vorher be- trachtete Weise. 422. Darstellung der Regelfläche dritten Grades mittelst zweier parallelen Spurebenen, von denen die Ebene des Leitkegelschnittes die eine ist. Die zweite Spur ist eine Linie dritter Ordnung. Der Umriß. 428. Zwei ein-zweideutige Strahlenbüschel erzengen eine ebene Linie dritter Ordnung. Bei perspektiver Lage der Büschel zerfällt diese Linie in eine Gerade und einen Kegelschnitt. 424. Konstruktion der Linie dritter Ord- nung aus zwei ein -zweideutigen Strahlenbüscheln. 426. Bestimmung ihrer Tangente in einem allgemeinen Punkte. 1) Verfahren aus der Betrachtung der Linie als ebener Schnitt einer Fläche dritten Grades. 2) Verfahren der ähnlichen Figur. 426. Die Asymptoten.
b) Die Raumkurve vierter Ordnung zweiter Art 458
427. Jede Raumkurve vierter Ordnung k* kann als teilweiser Schnitt einer Fläche zweiter Ordnung F* mit einer Fläche dritter Ordnung F^ er- halten werden. Sie ist von der ersten Art k^*, wenn der Restschnitt auch ein ebener Schnitt einer Fläche zweiter Ordnung sein kann, von der zweiten Art k^*^ wenn der Restschnitt aus zwei nicht in einer Ebene liegen- den Geraden oder aus der Doppelgeraden der F^ besteht. Durch eine k^* kann man unendlich viele F' legen, durch eine k^* nur jene eine. 428. Unterschiede der ki* und k^*. Eine k^* wird durch jede Erzeugende der einen Schaar der durch sie gehenden Regelfläche F' in einem, durch jede der anderen Schaar in drei Punkten getroffen; eine k^* hat weder einen Doppel- noch einen Rückkehrpunkt u. s. w. 429. Darstellung der Raum- kurve ÄJj* als Schnitt zweier Regelflächen F' und F*, wenn ihre vier un- endlich fernen Punkte zusammenfallen. Die F^ and die Tangente und
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Seite Asymptote ihrer Spar. 480. Der Bichtkegel der F', seine Spnr und deren Tangente. 431. Der Bichtkegel derF*; seine Spur, ein Kegelschnitt, maß die Spur der F', eine Kurve dritter Ordnung, vierpunktig beröhren.' An- näherungsanflösung für einen allgemeinen Berührungspunkt. Strenge Auf- lösung für Scheitel der beiden Kurven. 432. Die Schnittkarve k^* der F^ und F'. 433. Ihre Tangente in einem allgemeinen und in den besonderen Punkten.
VI. Das Cylindroid 471
434. Begriff. Es ist vom vierten Grade. Seine Darstellung. 435. Ebene Schnitte des Cylindroids und des Grundcylinders in kongruenten oder in flächengleichen Kurven. Tangente der Schnittkurve. 436. Die Striktions- linie und ihre Tangente. Kanten, Kuspidalpunkte. 437. Übungsaufgabe.
VII. Die Wölbfläche des schrägen Durchgangs. . . . 475 438. Begriff. Darstellung der zwei Fälle. Sie ist von der vierten Ord- nung. 439. Kanten , Kuspidalpunkte. Der Bichtkegel ist vom zweiten Grade. 440. Berührungsebene. 441. Der scheinbare erste Qmriß ist eine üyperbeL Nützliche und parasitische Stücke derselben. 442. Die zweite Projektion des ersten Umrisses ist ein Kegelschnitt, der wahre erste Umriß eine Kurve vierter Ordnung. 443. Die Schnittlinien mit Ebenen, die parallel zu den Ebenen der Leitkreise liegen, sind verallgemeinerte Konchoiden. ihre Normale. Ihre verschiedenen Gestalten. 444. Ihre Krümmungshalbmesser in den Scheiteln. 445. Eine Ebene, welche zwei Erzeugende der Fläche enthält, schneidet diese außerdem in einem Kegelschnitte; geometrischer Nachweis. Übungsaufgabe.
Vm. Die windschiefe Schraubenfläche, a) Die Schraubenfläche und die Begelschraubenfläche im allgemeinen. 486 446. Die Schraubenfläche im allgemeinen. Meridiankurve, Normal- kurve. Geschlossen, offen. Kehlschraubenlinie. 447. Die Begelschrauben- fläche; ihre Arten. 448. Allgemeine Begelschraubenfläche, Bichtkegel, asymptotische Ebene und Fläche. Die Striktionslinie ist die Kehlschrauben- linie. 449. Der Normalschnitt ist die gemeine, oder die verschlungene, oder die geschweifte Kreisevolvente. Krümmungsmittelpunkte. Die Kurve ' entsteht auch nach Art der gemeinen Kreisevolvente ^ wenn man den Bogen mit einem unveränderlichen Faktor multiplicirt. 450. Die Meridiankurve. Unterscheidung der Fälle , in welchen sie sich ihren Asymptoten von innen oder von außen anschmiegt. 451. Die Krümmungshalbmesser der Normal- nnd der Meridiankurve in ihren Scheiteln.
b) Die geschlossene schiefe Schraubenfläche 492
452. Darstellung des einen Astes eines Ganges. Der Normalschnitt ist eine Archimedische Spirale; ihr Parameter. Die Fußpunkte der aus dem Mittelpunkte des Grundkreises einer Kreisevolvente auf deren Tangenten gefällten Senkrechten bilden eine Archimedische Spirale. 453. Die Berüh- rungsebene der Fläche. 454. Der Umriß u der Projektion auf eine zur Axe parallele Ebene (P,) und dessen Projektion u auf eine zur Axe senk- rechte Ebene (P,). Verschiedene Konstruktionen von u'; ihre Tangente, ihr Krümmungskreis im Scheitel. Der zweite scheinbare Umriß u"; sein Krümmungshalbmesser im Scheitel. Übungsaufgabe.
c) Die Schattengrenze der geschlossenen schiefen Schraabenfläche. 497 456. Die Eigen- und Schlagschattengrenze einer beliebigen Schranben- fläche bei Parallelbeleuchtung. Satz von Burmester. Der Ausgangspunkt.
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456. Ist der Normalschnitt symmetrisch in Bezug auf eine Meridianebene, so ist die erste Projektion s' der Eigenschattengrenze 8 symmetrisch zu der auf der Lichtmeridianebene senkrechten Meridianebene. Halbirungs- kreis von Sehnen der 8\ 457. Die Normale der $'. 458. Konstruktion der Eigenschattengrenze 8, Konstruktion von 8\ 459. s' ist von der vier- ten Ordnung. Tangenten der 8* in ihrem Doppelpunkte; ihre Asymptoten ; ihre Tangente in einem allgemeinen Punkte; ihre Krümmungshalbmesser im Scheitel und im Doppelpunkte. 460. Drei verschiedene Gestalten der »'. 2. Fall (Strophoide). 461. 3. Fall. 462. Eigenschattengrenze «" im Auf- riß; seine Asymptoten. Schlagschatten auf F^ und auf die Fläche selbst.
d) Die Lichtgleichen der Schraubenfläche, insbesondere der
geschlossenen schiefen 508
463. Die Lichtgleichen einer beliebigen Schraubenfläche. Konstruktion der Grundrißlichtgleichen durch Drehung eines Hilfskegels mit seinen Licht- gleichen. 464. Die Lichtgleichen auf der geschlossenen schiefen Schrau- benfläche. Grundrißlichtgleichen. 465. Ihre Tangenten im Axenpunkte; ihre Asymptoten sind Tangenten des Parameterkreises; sie sind, wie bei allen Begelflächen, die Lichtgleichen der asymptotischen Fläche. 466. Die Maximalkurve ist der Umriß für eine Projektionsrichtung, die auf dem Lichtstrahlenmeridiane senkrecht steht. Die Verzeichnung der Grundriß- lichtgleichen. 467. Die Aufrißlichtgleichen. Punkte der Axe, Asymptoten. Schlagschatten auf die Fläche. /
e) Die geschlossene gerade Schraubenfläche, ihre Schattengrenzen
und Lichtgleichen 514
' 468. Der Grundriß der Eigenschafctengrenze dieser Fläche (der Wendel- fläche) ist ein durch den Axenpunkt gehender Kreis, sie selbst eine Schrau- benlinie. Ihr Schlagschatten ist die gemeine Cykloide. 469. Die Grnnd- rißlichtgleichen. Die Maximalkurve ist eine Erzeugende. Ihre Verzeich- nung; ihre Tangenten in den Punkten der Axe. 470. Ihre Krümmungs- kreise in den Scheiteln bestimmt durch das Verfahren der ähnlichen Figur. Übungsaufgabe. 471. Die Aufrißlichtgleichen; ihre Tangenten in denAxen- punkten. Die positiven und negativen Kurven. 472. Übungsaufgabe.
f) Die Schraube, ihre Schattengrenzen und Lichtgleichen. . . 520 473. Begriff, Kern, Gewinde, Schraubenmutter. 474. Die Schraube mit scharfem Gewinde, ihre Darstellung, ihre Schattengrenzen und Lichtgleichen. 475. Das Gleiche für die Schraube mit flachem Gewinde. Übungsaufgabe.
XL Abschnitt Die Krümmung der Fläöhen.
I. Die Krümmung der Normal- und der schiefen Schnitte. 526 476. Die Krümmung aller Kurven einer stetigen Fläche in einem Punkte P ist durch die Krümmung dreier dieser Kurven bestimmt, von denen keine zwei eine gemeinschaftliche Tangente in P besitzen. 477. Für einen rPunkt einer stetigen Fläche gibt es eine dreifach unendliche Schaar von Schmiegungsflächen zweiten Grades. 478. Die Indikatrix. 479. Satz von Euler über dieSa-ümmung der Normalschnitte in einem Punkte. Die Linien größter und kleinster Krümmung stehen auf einander senkrecht. 480. Erörterung der Eulerschen Formel. Die Haupttangenten. 481. Konstruk- tion von Mannheim für die Krümmungshalbmesser der Normalschnitte. 482. Andere Konstruktion für dieselben. 483. Ersetzen der dabei vorkom- menden Kegelschnitte durch Kreise. Das Büschel der Normalebenen ist
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Seite involatorisch und projektiv mit der Reihe der zagehörigen Erümmungs- mittelpankte. 484. Darstellang der Erummungshalbmesser der Normal- schnitte durch die Eolersche Earve; deren Tangenten, insb. Asymptoten (zwei nene Parabelkonstruktionen). 485. Die Erummungshalbmesser der Enler- schen Eurven in ihren Scheiteln. 486. Bestimmung der Erummung der schiefen Schnitte einer Fläche durch den Sat2 von Meusnier. 487. Die Fläche der Erümmungskreise der Normalschnitte einer Fläche in einem Punkte ist ähnlich mit der Fläche der Erümmungsmittelpunkte aller Eurven der Fläche in diesem Punkte, und von doppelter Größe. 488. Die Normalen einer Fläche in ihren Punkten , welche einem Punkte P derselben benach- bart sind, schneiden zwei Gerade, die Deviationsaxen , welche die Nor- male der Fläche in P senkrecht treffen; sie schneiden auch diese Normale selbst, wenn ihre Fußpunkte in den Hauptschnitten liegen. 489. Die Erümmungslinien und asymptotischen Linien. 490. Die Erümmungslinien der Umdrehungs- und der abwickelbaren Flächen. Einer windschiefen Fläche schmiegt sich entlang einer Erzeugenden ein Hyperboloid an, das durch die zweiten Haupttangenten gebildet wird.
II. Die Tangenten der Schnittkurve zweier sich berühren- den Flächen in deren Berührungspunkte, einem Doppel- punkte der Eurve 545
491. Ebener Schnitt einer Fläche in einem hyperbolischen Punkte. 492. Schnitt zweier sich berührenden Flächen. Bestimmung der Tangenten im Doppelpunkte mittelst der Indikatrixen beider Flächen. 493. Anwen- dung auf den Schnitt eines Ringes mit einem geraden Eonoide.
III. Die Evolute einer ebenen Schnittkurve einer Fläche
und ihrer Projektionen 647
494. Verfahren zu ihrer Eonstruktion. 495. Die Evolute der ebenen Schnittkurve eines Ringes und des Grund- und Aufrisses derselben. 496. Die Evolute der wahren Gestalt der Schnittkurve. Bestimmung durch die sich anschmiegenden Flächen zweiten Grades. 497. Die Punkte in der Mittelebene der Fläche. 498. Die Punkte in der Symmetrielinie der Eurve. 499. Die Punkte auf den äußersten Parallelkreisen. 500. Die Wendepunkte der Eurve. 501. Die Spitzen der Evolute. 502. Die Evoluten der beiden Projektionen der Eurve.
IV. Die konjugirten Tangenten einer Fläche und die
Tangenten ihrer Eigenschattengrenze 554
503. Satz von Dupin: Ist einer Fläche eine abwickelbare Fläche um- schrieben, so sind in einem Punkte der Berührungskurve deren Tangente und die Erzeugende der abwickelbaren Fläche konjugirte Tangenten der gegebenen Fläche. 504. Anwendung auf die Eigen- und Schlagschatten- grenze einer Umdrehungsfläche (Ring) bei Oentralbeleuchtung. Verfahren. 505. Die sich anschmiegende Fläche zweiten Grades. Tangente im Grundriß und im Aufriß. Punkte des Hauptmeridians und des Eehlkreises. 506. Be- stimmung der Grenzpunkte der Eigenschattengrenze mittelst einer Fehler- kurve. 507. Die Erümmungskreise in den Scheiteln der Eigenschatten- grenze, ihrer ersten Projektion imd der Schlagschattengrenze. 508. Fall der Parallelbeleuchtung. 509. Die Tangente der Berührungskurve des einer windschiefen Fläche umschriebenen Eegels. 510. Die zweite Haupttangente in einem Punkte einer geschlossenen windschiefen Schraubenfläche wird durch den Parameter der Archimedischen Spirale des Normalsohnittea be- stimmt. 511. Die Eigenschattengrenze dieser Fläche bei Oentralbeleuchtung.
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612. Ihre Tangenten, insbesondere Asymptoten. 513. Fall der Parallel- beleachtung. 514. Fall der Wendelfläohe.
V. Die Erümmnngslinien der Flächen zweiten Grades.
a) Die Erümmongslinien als Schnittlinien konfokaler Flächen. . . 564 515. Satz von Bertrand: An den Endpunkten zweier von einem Punkte ausgehenden, auf einander senkrechten gleichen Linienelemente auf einer Fläche bilden die Flächennormalen gleiche (Ablenkungs-) Winkel mit den durch diese Elemente gehenden Normalebenen im Ausgangspunkte. 516. Hilfssatz. Schneiden sich die Flächen dreier Flächenschaaren rechtwinklig, 80 sind die Schnittlinien Erümmungslinien der Flächen. 517. Zwei auf einander senkrechte in Bezug auf alle Kurven einer Schaar konfokaler Kegelschnitte konjugirte Gerade werden durch zwei koujugirte Brennpunkte harmonisch getrennt. 518. Die Brennpunkte der Hauptschnitte einer Fläche zweiten Grades. Der Fokalkegelschnitt jeder der vier Hauptebenen (dar- unter der unendlich fernen) hat die Brennpunkte des Hauptschnittes in dieser Ebene zu seinen Brennpunkten und je zwei Brennpunkte der anderen Hauptschnitte zu Scheiteln. 519. Konfokale Flächen zweiten Grades. Vier Schaaren: Reelle EUipsoide, einschalige, zweischalige Hyperboloide, ima- ginäre Flächen. 520. In Bezug auf alle konfokalen Flächen zweiten Grades ist einer Ebene eine und dieselbe auf ihr senkrechte Gerade konjugirt. 521. Konfokale Flächen zweiten Grades von verschiedener Art schneiden sich durchweg rechtwinklig, 522. also in Krümmungslinien; diese sind daher von der vierten Ordnung, und ihre Projektionen auf eine Haupt- ebene aus deren Pole sind Kegelschnitte. 528. Die Projektionen der Krümmungslinien auf die drei Hauptebenen. Das Ellipsoid. 524. Die Krümmungslinie gehend durch einen bestimmten Punkt eines Hanptschuit- tes. 525. Bestimmung der Axen der Projektionen der Krümmungslinien. 526. Die Krümmungslinien des einschaligen Hyperboloides. 527. Die Axen ihrer Projektionen,
b) Die Projektionen der Krümmungslinien auf die Hauptebenen
als Kurven einer Kegelschnittschaar 578
528. Bei einer Schaar konfokaler Flächen zweiten Grades ist jede Tan- gente eines Fokalkegelschnittes Axe eines rechtwinklig involutorischen EbenenbüBchels konjugirter Ebenen. 529. Sätze über die aus einem Punkte eines Fokalkegelschnittes umschriebenen Kegel, über die Schnitte der Normalebenen eines Fokalkegelschnittes, über Nabelpunkte. 580. Die Pro- jektionen zweier konjugirten Tangenten einer Fliehe zweiten Grades in einem Nabelpunkte auf eine Hauptebene aus deren Pole sind auch konjugirt in Bezug auf die gleichartigen Projektionen der Krümmungslinien der Fläche. 531. Die Projektionen der Krümmungslinien einer Fläche zweiten Grades F auf eine Hauptebene aus deren Pole bilden eine Kegelschnitt- schaar; die Seiten ihres umschriebenen Vierseits sind die Projektionen von Berührungsebenen der F in Nabelpunkten derselben, und die Eckpunkte des Vierseits sind die Projektionen je zweier anderen Nabelpunkte der F. 532. Die Darstellung dieser Kegelscbnittschaaren mittelst der Hilfskegel- schnitte 1) bei dem EUipsoide. 588. Bestimmung der Hilfskegelschnitte in der Hauptebene mit den reellen Nabelpunkten , 5d4. in den beiden anderen Hauptebenen. 535. Die Projektionen der Krümmungslinien. 536. 2) Bei dem einschaligen Hyperboloide. Die reellen und ideellen Projektionen je zweier imaginären Nabelpunkte in die vier Hauptebenen. 537. Die Hilfs- kegelschnitte in den vier Hauptebenen. 538. Verzeichnung der reellen Projektionen der Krümmungslinien. 539. Die Projektionen der Krümmungs-
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linien auf eine Hauptebene, insbesondere auf die der reellen Nabelpunkte, nach dem Verfahren der Netze, zugleich für das Ellipsoid und für zwei zweischalige Hyperboloide. 540. Erweiterte Bedeutung dieser Netze. Übungsaufgabe.
XIL Abschnitt.
AzonometriBohe und sohiefe Projektion, Perspektive und Beliefperspektive krummer Fl&oben.
I.Axonometrie 593
541. Ein aufrechter Ereiscylinder und seine Schatten bei Parallel- beleuchtung. 542—544. Ein auf die Grundrißebene aufgelegter und ein auf diesen aufgelehnter gerader Ereiscylinder und ihre Schatten bei Parallel- beleuchtung. Satz: Die Excentricität der (elliptischen) senkrechten Pro- jektion eines Kreises ist gleich der Projektion einer Strecke, welche gleich dem Kreishalbmesser ist und senkrecht auf der Ebene des Kreises steht. 545. Die Kugel und ihre Schatten bei Parallelbeleuchtung.
n. Schiefe Projektion 600
546. Ein aufrechter Kreiscylinder und seine Schatten bei Parallel- beleuchtung. 547, 548. Die Kugel und ihre Schatten bei Parallelbeleuch- tung. Den Umriß der axonometrischen oder schiefen Projektion einer Fläche zweiten Grades aus den Abbildungen dreier konjugirten Halbdurch- messer derselben zu bestimmen.
III. Perspektive 603
549. Die Perspektive eines Kreises mittelst des umschriebenen regel- mäßigen Achtecks desselben zu bestimmen; 1) der Kreis liegt in einer zur Bildfläche senkrechten Ebene; 550. 2) in einer beliebigen Ebene. 551. Die Axen der Perspektive eines E[reises zu bestimmen, 1) wenn von der Perspektive ein Durchmesser mit seinen Endtangenten und ein Punkt ge- geben sind; 552. 2) wenn die Lage des Kreises gegeben ist. 553, 554. Die Perspektive eines auf die Grundrißebene aufgestellten geraden Kreis- cylinders mit seinen Schatten bei Parallelbeleuchtung. 555. Die Axen eines durch fflnf Punkte oder fünf Tangenten gegebenen Kegelschnittes zu ermitteln. 556, 557. Die Perspektive eines auf die Grundrißebene aufge- legten geraden Kreiscylinders und seiner Schatten bei Paralletbeleuchtung.
558. Die Perspektive eines Kreuzgewölbes in gerader Stellung gegen die BUdfläche und der darin auftretenden Schatten bei Parallelbelenchtung.
559. Die Tangenten der Kurven. 560. Der Schatten auf die Pfeiler. 561. Die Schatten auf die Wölbungsflächen und auf den Boden. 562. Die Deckplatte und ihre Schatten. 563. Bestimmung der Axen der bei der Perspektive des Kreuzgewölbes vorkommenden Ellipsen. 564. Perspektive eines schief gegen die Bildfläche stehenden Brückengewölbes, sowie der Schatten, der Reflexbeleuchtung und des Spiegelbildes. 565. Die Spiegelung. 566. Der Schatten in die Wölbungsfläche und auf die Wasserfläche. 567. Die Reflex- beleuchtung. 568. Die Nichtsichtbarkeit des Schattens auf vollkommenen Spiegeln und ihre Sichtbarkeit auf unvollkommenen. 569. Perspektive einer Kugel und ihres Schattens bei Parallelbeleuchtung. 570. Der Umriß der Perspektive einer Kugel ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel. Seine Darstellung durch einen Kreis. 571. Eigen- und Schlagschatten auf die Bodenfläcbe. Die Axen der Ellipsen. 572. Den Umriß der Perspektive einer Fläche zweiten Grades aus den Abbildungen dreier konjugirten Durch- messer der Fläche zu bestimmen. 573. Die Perspektive einer Umdrehungs- fläche (eines Fußgestelles) samt den dabei auftretenden Schatten bei
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XXX InhaltsyerzeichmB.
Seite
Parallelbeleuchtung. Der umriß. 674. Die ausgezeichneten Punkte des Umrisses. 575. Darf das unsymmetrische Bild durch ein symmetrisches ersetzt werden? 576. Die Eigenschattengrenze. 577. Ihre ausgezeichneten Punkte. 578. Die Schlagschatten. 579. Die Perspektive des menschlichen Blickes. Die scheinbare Stellung des abgebildeten (gegenständes gegen das Auge ist unveränderlich^ die gegen den Raum kann sich Sindem. 580. Die Ereisform der Iris eines Portraits ist ein ungenaues und nicht aus- schlaggebendes Kennzeichen der Richtung des Blickes nach dem Beschauer. 581. Die scheinbare Richtung des Blickes hängt von der Stellung der Seh- richtung des Portraits gegen seine Gesichtsnormale und der Gesichtsnor- male gegen den Beschauer ab. 582. Änderung der scheinbaren Sehrichtung eines Portraits bei ungeänderter Abbildung der Augen durch Änderung der Abbildung des üntergesichts. Entstehende, oft unmerkliche, aber jedenfalls für das Urteil nicht maßgebende Fehler.
IV. Reliefperspektive 645
583. Reliefperspektive der Flächen zweiten Grades, 584. der Kugel Konstruktion. 585. Die beiden Schaaren der Kreisschnitte. 586. Kon- struktion der Azen eines Kegelschnittes aus dem Kreise, dessen Central- projektion er ist Das Relief der Kugel kann ein Ellipsoid, ein elliptisches Paraboloid oder ein zweischaliges Hyperboloid sein.
Die im Texte in Klammem angegebenen Zahlen bedeuten die Nummern des Buches; eine zugefügte I bedeutet den ersten Band.
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fTJ'HIVBESITT)
I. Abschnitt.
Die krommen Flächen im allgemeinen; der Cy linder, der Kegel,
die Umdrehnngsfläche und ihre Berflhningsebenen; die abwiclLel-
bare Fläche im allgemeinen.
L Die krummen Flächen im allgemeinen, ihre Berühnmgsebenen
und Normalen.
1. Eine- Fläche ist die Gesamtheit der Lagen einer sich hewegenden Linie y deren Gestalt dabei unveränderlich oder veränderlich sein Jcann. Die Fläche heißt gesetzmäßigy wenn die sich bewegende Linie, ihre Bewegung und ihre Gestaltsänderung gesetzmäßig sind; sie heißt stetig, wenn dieselben stetig sind. Man findet^ daß in diesen Fällen auch jedes aus der Fläche nach einem bestimmten und stetigen Gesetze abgeleitete Baumgebilde, z. B. ihr Schnitt mit einer anderen gesetzmäßigen, stetigen Fläche gesetzmäßig und im allgemeinen stetig ist. Die in einzelnen Fällen auftretenden Unstetigkeiten, wie das Abbrechen von Linien, verschwinden, wenn man verallgemei- nerte Anschauungen einführt, z. B. auch die reellen Geraden beachtet, welche zwei konjugirte imaginäre Punkte verbinden. Wir werden Beispiele hiervon kennen lernen.
Bei der Entstehung der Flächen heißt die sich bewegende Linie die Erzeugende^ ist das Bewegungsgesetz durch Punkte oder Linien gegeben, durch welche die Erzeugende stets gehen, oder durch Flächen, welche sie stets berühren soll, ao heißen diese bezw. Leit- punkte, Leitlinien, Leitflächen.
Eine Fläche kann auch als Einhüllende aller Lagen einer sich bewegenden anderen Fläche, z. B. einer Ebene oder einer Kugel angesehen werden, und wir werden auch diese Entstehungsweise näher kennen lernen.
2* Eine Fläche toird dargestellt durch die gemäß der Begriffs- angäbe ausgeführte Darstellung einer Anzahl von Erzeugenden, ge- wöhnlich durch die beiden Projektionen derselben. Dadurch ist man auch instand gesetzt, zu einer gegebenen Projektion eines Punktes der Fläche die andere Projektion zu finden] man legt durch die gegebene
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, n. 1
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I, 2 — 4. Die kminmen Flächen im allgemeinen.
C,
M-
J>«i
Projektion des Punktes die gleichnamige Projektion einer Erzeu- genden^ bestimmt ein- oder mehrdeutig deren andere Projektion und auf ihr die andere Projektion des Punktes.
Die Verzeichnung der Spuren einer Fläche, d. h. ihrer Schnitte mit den Projektionsebenen, die Verzeichnung der umrisse, sowie die Unterscheidung der sichtbaren und verdeckten Teile der Erzeugenden tragen wesentlich zur Veranschaulichung der Fläche bei.
3. Die Flächen gruppirt man nach ihren Erzeugenden in Familien. Da man aber jede Fläche durch verschiedene Erzeugende entstehen lassen kann, so gehört eine Fläche in verschiedene Fa- milien, und diese schließen sich gegenseitig nicht aus.
Lernen wir zunächst die häufigst vorkommenden Familien kennen:
Eine cylindriscke Fläche oder ein Cylinder entsteht durch eine Ge- rade, die Erzeugende e, welche parallel mit einer gegebenen Richtlinie auf Fig. 1. einer gegebenen Kurve, der Leitlinie, hingleitet. In Figur 1 ist ABCD
die Leitlinie k, ÄÄ^, BB^ . . . sind Erzeugende ^^S' ^' e. Der Cylinder kann auch durch eine krumme
Linie als Erzeugende entstehen, welche bei un- veränderlicher Gestalt und paralleler Lage (der Sehnen und Tangenten) gegen ihre Anfangs- lage sich so bewegt, daß ein Punkt derselben eine Gerade, die Leitlinie, beschreibt Dann sind ABCD, ÄiB^C^Di Lagen der Erzeugenden, ÄÄi ist die Leitlinie. Die entstehende Fläche ist wirklich ein Cylinder; denn jeder Punkt B 'ß "" der Erzeugenden beschreibt eine der Leitlinie parallele Gerade BB^, weil A^B^ # AB, da- her ABB^Ai ^^ Parallelogramm ist. Fig. ». 4. Eine KegdfläcJie, konische Fläche oder ein Kegel entsteht durch eine Gerade, die Erzeugende e, welche stets durch einen festen Punkt S, die Spitze oder den Mittelpunkt der Fläche, geht und auf einer gege- benen Kurve ABCD , . . = k, der Leitlinie, hingleitet. Die Spitze teilt alle Erzeugenden ASA^, . . ., die unbegrenzt sind, und dadurch den Kegel selbst, in zwei Teile; dieselben heißen die Äste des Kegels. Der Kegel kann auch durch eine krumme Linie ABCD als Erzeugende entstehen, welche sich so bewegt, daß ein Punkt A derselben eine Gerade AS, die Leitlinie, beschreibt, daß alle Lagen der Erzeugenden ähnlich und parallel mit der Anfangslage sind, und daß endlich jedes Maß der Erzeugenden in unveränderlichem Verhältnisse zum Abstände SA des Punktes A von einem festen
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1,4 — 5. Die krammen Fl&chen; ihre Berührongsebenen nnd Normalen. 3
Fig. 2.
Pankte 8 der Leitlinie steht Es muß also, wenn A^B^Cy^D^ eine zweite Lage der Erzengenden ist, gelten A^B^ _ AyC^ _ _ SAi AB "■ AC SA'
Die so entstehende Fläche ist wirk- lich ein Kegel, da jeder Punkt B der Eräugenden eine durch S ge- hende Gerade beschreibt, welche nach der ersten Entstehung die Er- zeugende ist Denn wegen AB\\AiBi und wegen der obigen Verhältnisse liegen die Dreiecke J.J5iS xmdAiBiS in einer Ebene und sind ähnlich; daher sind die Winkel bei S gleich und SB^B ist eine Gerade. Gelangt A nach S, so werden die Maße der Erzeugenden Null, sie selbst wird zu einem Punkte. Geht A auf die andere Seite von 8 nach A^j so ändert SA seinen Sinn; daher muß auch AB seinen Sinn ändern und B^ liegt auf der Geraden BS auf der anderen Seite von ASA^.
Man kann offenbar den Cylinder als die besondere Art des Kegels betrachten, bei welcher die Spitze ins Unendliche ge- rQckt ist
Ist die Leitlinie eines Kegels eine Ge- rade, so wird derselbe zu einer Ebene, so daß man die Ebene als einen Kegel und auch als einen Cylinder ansehen kann.
6. Eine Umdrehungsfläehe entsteht durch Umdrehung einer Linie als Eriseugenden um eine Gerade als Umdrehungsaxe. Jeder Punkt B der Erzeugenden AB CD beschreibt da- bei einen Kreis, den sog. Parallelkreis, dessei» Ebene senkrecht auf der Axe a steht und dessen Mittelpunkt Aq auf der Axe liegt
Jede durch die Axe gelegte Ebene heißt Meridianebene, ihr Schnitt mit der Fläche Meridianlinie oder Meridian-^ solche sind A^ B^ CD^ und AfB^CD^. Alle Meridiane sind unter einander Jcongruenty weil bei der Drehung der Ebene des einen um die Axe in die Ebene des andern
Fig. 3.
Fig. 8.
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4 I, 5—6. Die krummen Flächen im allgemeinen.
die in seiner Ebene liegenden Halbmesser der Parallelkreise mit denen des andern zur Deckung gelangen. Die Axe teilt jeden Meri- dian in zwei symmetrische Hälften. Je nachdem man diesen halben oder den ganzen Meridian als Erzeugende nimmt, ist zur Erzeugung der Fläche eine ganze oder eine halbe Umdrehung notwendig.
Jede Linie auf der ümdrehungsfläche, welche alle Parallel- kreise schneidet, kann als Erzeugende dienen-, so ABCD. Von einer Lage der Erzeugenden zu einer andern beschreiben alle Punkte Bogen, welche zu gleichen Centriwinkeln gehören, weil der Winkel- abstand der Meridianebenen zweier verschiedenen Punkte der Er- zeugenden wegen deren starrer Verbindung mit der Axe unverän- derlich ist. — Zwei Lagen einer Erzeugenden können sich daher nicht schneiden, außer in einem Punkte der Axe, wie in (7, oder wenn die Erzeugende einen Parallelkreis mehrmals trifiPh und ihn ebenso oft beschreibt.
Man kann auch einen Kreis, den Parallelkreis, als Erzeugende der Fläche annehmen; sein Mittelpunkt beschreibt die Axe, seine Ebene bleibt auf ihr senkrecht, er selbst schneidet stets eine ge- gebene Leitlinie. Wegen der Übereinstimmung dieser Erzeugenden gehören die ümdrehungsflächen zu einer Familie, Jede Meridian- ebene teilt jeden Parallelkreis und daher die Fläche in zwei sym- metrische Hälften.
Ist die Erzeugende eine mit der Axe parallele oder eine sie im Endlichen schneidende Gerade, so entsteht der Umdrehungs- oder gerade Kreiscylinder , bezw. der Umdrehungs- oder gerade Ereiskegel. Dreht sich ein Kreis um einen seiner Durchmesser, so beschreibt er die Kugel. Fig. 4. 0. Die Tangente t einer auf einer krummen Fläche liegenden
Kurve h in deren Punkte P heißt auch eine Tangente der Fläche in F. Jede Ehene, welche man durch die Ge- rade t legt, die eine Kurve k einer stetigen Fläche in deren Punkte P be- rührt, schneidet die Fläche in einer Kurve l, welche ebenfalls von U in P berührt unrd. Denn dreht man diese Ebene um P aus ihrer Lage heraus, so daß sie noch durch den Punkt Q der k geht, und schneidet sie dann die Fläche in der (durch P und Q gehenden) Kurve l^, deren Tangente in P die t^ sei, und dreht man dann die Ebene wieder in ihre erste Lage zu- rück, wobei Q und l^ in P und l einrücken, so sind bei unendlich kleinein PQ der Winkel der t mit der Sehne PQ der k, ferner
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I, 6 — 7 . Die krummen Flächen; ihre Berührungsebenen und Normalen. 5
der Sehne PQ der Zj mit der f^, und endlich wegen der Stetigkeit der Fläche, der Winkel der Tangente t^ der l^ mit der Tangente der i in P unendlich klein, also ist auch der Winkel zwischen t und der Tangente der Z in P unendlich klein, d. h. beide fallen zu- sammen (I, 192).
7. Legt man auf einer Fläche durch einen PunM P verschiedene Kurven, so liegen die Tangenten derselben in dem gemeinsamen Punkte P im allgemeinen in ein u/nd derselben Ebene, die da/nn die Beruh- rungS' oder Tangentialebene der Fläche in P heißt.
Seien Ä, Z, m drei solche Kurven, t, u, v bezw. ihre Tangenten Fig. 5. in P, von denen keine zwei zusammenfallen. Nun ersetze man eine der Kurven, etwa Ä, durch die Schnitt- linien der Fläche mit einer durch ihre , ^^^- ^• Tangente t gelegten Ebene, so wird diese nach der vor. Nr. ebenfalls von ^ in P berührt, und man kann die neue Linie Tc als eine Lage einer Erzeugen- genden der Fläche ansehen, indem man als Erzeugende die Schnittlinien einer sich stetig bewegenden Ebene mit der Fläche annimmt. Eine benachbarte Er- zeugende \ gehe durch die benachbarten Punkte L und M der l bezw. m, so daß PL, PM und dann auch LM stets unendlich klein von der ersten Ordnung oder 0^ sind, weil das Dreieck PLM endliche Winkel besitzt. Dagegen sind die Abstände {L w), {Mv) des L von u und des M von v im allgemeinen = 0* (I, 236 (7)), wenn nicht von einer noch höheren Ordnung, und daher ist die Neigung der Sehne LM gegen die Ebene uv = [{Lu) — (Mv)] : LM, und im allgemeinen = 0^ : 0^ == 0^, wenn nicht von noch höherer Ordnung. Ist femer t^ die Tangente der k^ in L, so ist auch der Winkel der LM mit t^ im allgemeinen = 0\ und ebenso derjenige von ti mit t, so lange t die Grenze von t^ bildet. Dann ist auch die Neigung der t gegen die Ebene uv = 0^, wenn nicht von einer noch höheren Ordnung, oder es liegt t in der Ebene uv, w. z. b. w.
Es bildet aber t nicht immer die Grenze t^on t^^, nämlich dann nicht, wenn in P unendlich viele Tangenten an k möglich sind, wenn also P ein Doppelpunkt, oder eine Spitze oder ein isolirter Punkt von k ist (I, 194). Die k^ geht in diesem Falle, z. B. bei der Spitze eines Kegels, in k über, wie sich eine Hyperbel (Äj) bei Annäherung in ihre Asymptoten (k) hereinschmiegt, oder wie eine geschlossene Kurve (k^) zu einem Punkte (k «= P) zusammen- schrumpft. Alle durch P gehenden Gerade, welche in der Schmie-
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6 I, 7 — 9. Die krummen Flächen im allgemeinen.
gungsebene der h in P liegen, sind dann Tangenten der k und der I Fläche. In diesem Falle hat t^ wegen der Stetigkeit der Fläche eine jener unendlich vielen Tangenten zur Grenze, die aber im all- gemeinen nicht jene gegebene ^, insbesondere nicht die ausgezeich- nete oder eine der beiden ausgezeichneten ist Daher ist im Falle des Doppelpunktes oder der Spitze im allgemeinen t nicht die Grenze von LM, liegt also mit u und v nicht in einer Ebene. — Dieser Fall kommt bei der schon erwähnten Eegelspitze oder bei Punkten derselben Art vor, wie solche z. B. bei Umdrehungsflächen in dem Punkte des nicht rechtwinkligen Schnittes der Axe mit der sich drehenden Erzeugenden entstehen, und sodann in den Punkten eines Selbstschnittes oder einer Doppelkurve einer Fläche. Die durch P gehenden Ebenen schneiden dann die Fläche in Kurven mit Doppel- punkten, oder im ersteren Falle auch in einem isolirten Punkte. Alle durch P gehende Gerade sind dann Tangenten der Fläche; alle aus- gezeichnete Tangenten jener Doppelkurven bilden im ersten Fall einen Kegel, im zweiten zwei Ebenen, welche ausgezeichnete berührende Flächen sind.
In einem gewöhnlichen Ptmkte P der Fläche bestimmt man daher ihre Berührungsebene durch die nicht zusammenfallenden Tangenten zweier durch P gehenden Kurven der Fläche in P.
Die Berührungsebene in P hat mit der Fläche ein Flächen- element gemein, welches die Elemente aller durch P gehenden Kur- ven der Fläche bei P enthält. Man kann daher die Fläche als ein Vielflach mit unendlich vielen Seiten betrachten, nämlich als Grenz- gestalt eines der Fläche ein- oder umschriebenen Yielflachs, von dessen Flächen die Großen stets abnehmen, und sich der Grenze Null nähern.
8. D« senkrecht mr Berührungsebene einer Fläche durch deren Berührungspunkt gelegte Gerade heißt eine Normale der Fläche, jener Berührungspunkt ihr Fußpunkt P. Sie wird bestimmt als Normale zur Berührungsebene oder als Schnittlinie der Normalebenen zweier durch P gelegten Kurven der Fläche in P.
9. Der erwähnte Umriß einer Fläche wird für irgend eine Stelle des Auges, entsprechend wie bei Yielflachen, durch die aus dem Auge an die Fläche gezogenen Tangenten bestimmt, die man als Tangenten an die Schnittkurven der Fläche mit den durch das Auge gelegten Ebenen erhält. Sie bilden einen aus dem Auge an die Fläche gelegten berührenden Kegel, die Berührungspunkte bil- den den wahren Umriß und der Schnitt des Kegels mit der Pro- jektionsebene den scheinbaren Umriß. Bei Parallelprojektion geht der Kegel in einen Cylinder über. Ein Punkt der Fläche gehört dem Umriß an, wenn die Berührungsebene in ihm durch das Auge
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I, 10—11. Die krummen Flächen; ihre Berührongsebenen und Normalen. 7
geht, also bei senkrechter Projektion senkrecht auf der Projektions- ebene steht.
10. Eine Beruhrungs^ene des Cylinders oder des Kegels berührt denselben in jedem Punkte der durch den Berührungspunkt gehenden Erzeugenden, d. i. entlang derselben. Legt man durch den Berüh- rungspunkt P die Erzeugende e oder PP^ und eine Kurve k, so be- Fig. e. stimmen die Tangenten dieser
Linien in P, d. i. e selbst und ^^f^- ^•
PT die Berührungsebene. Legt man nun durch einen andern Punkt Pj der e eine Kurve k^ auf der Fläche, so soll jene Berührungsebene auch deren Tangente Pj T^ enthalten. Und wirklich, führt man durch e und den Punkt Q der k eine Ebene, so enthält diese auch die durch Q gehende Erzeu- gende QQ^y welche die k^ in Q^ treffe, und ebenso die Sehnen PQ und PiQi von k und \. Läßt man nun Q nach P rücken, so werden zugleich die Bogen PQ und PiQi unendlich klein, daher auch die Winkel TPQ und T^P^Q^. Da also die Tangente P^T^ einen unendlich kleinen Winkel mit der Sehne PiQi und daher auch mit der schneidenden Ebene PP^ Qi Q, diese aber einen un- endlich kleinen mit der Berührungsebene TPP^ bildet, so ist auch, derjenige von P^ 2\ mit dieser Berührungsebene unendlich klein, oder die Tangente P^T^ fallt in diese Berührungsebene, w. z. b. w.
Daraus folgt auch, daß die Spur eines Cylinders oder eines Kegels von der Spur der Berührungsebene in der Spur der Berüh- rungserzeugenden berührt wird.
11. Die Berührungsebene einer ümdrehungsfläche in einempig.7. Punkte P derselben ist bestimmt durch die Tangenten PT und PS bezw. des durch P gehenden Parallelkreises und Meridianes. Da die Tangente PT des Parallel- kreises senkrecht auf dessen Halbmesser PM und auf der Umdrehungsaxe a, also auf der Ebene Pa steht, so steht auch die Berührungsebene einer Üm- drehungsfläche senkrecht (mf der Meridianebene des Berührungspunktes.
Die ParaUelkreistangenten in allen Punkten eines Meridians bilden einen auf dessen Ebene senk- rechten, die Umdrehungsfläche entlang des Meri-
Fig. 7.
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8 I, 11—12. Die krummen Flachen im allgemeinen.
dians berührenden Cylinder. Denn die ümdrehungsfläche und der Cylinder haben in P die Beröhrungsebene TP8 gemein.
Die Meridiantangenten in allen Punkten eines Parallelkreises PP^ schneiden die Axe a in demselben Punkte Sy weil sie bei der Drehung eines Meridians um a in einander übergehen; sie bilden einen UmdreJmngsJcegel mit der Axe a, der die Fläche entlang des Parallelkreises berührt.
Eine Flächennomuüe PN schneidet die Axe; denn sie liegt in der Meridianebene des Berührungspunktes^ da diese auf PT senk- recht steht. Die Flächennormalen in allen Punkten eines Parallel- kreises PPi . . . gehen durch denselben Punkt N der Axe a und bil- den einen Un^drehungskegel mit a als Axe.
Eine durch einen Parallelkreis aus der Spitze N des zugehöri- gen Normalenkegels als Mittelpunkt gelegte Kugel berührt die Fläche entlang jenes Kreises.
Eine Umdrehungsfläche ist eine einhüllende Fläche von den be- trachteten Cy lindern, Kegeln und Kugeln, weil sie jede Lage der- selben, und zwar entlang eines Meridians bezw. eines Parallel- kreises, berührt.
II.. Der Cylinder und Kegel, tind ilire Berührungsebenen.
12« Aufg. Einen dufth seine in P^ liegende Leitlinie Jc^ und seine Richtlinie r gegebenen Cylinder darmstellen. Fig. 8. Aufl. \ ist zugleich die erste Spur des Cy linders; die zweite ^2 findet man durch die zweiten Spuren P^ der durch Punkte P^ der \ parallel zu r gezogenen Erzeugenden.
Die Umrisse der ersten Projektion sind die parallel zu r' an k^^ gezogenen Tangenten, die wahren Umrisse die durch sie dargestellten Erzeugenden, wie Ä^A^j entlang deren die Berührungsebenen erste projicirende Ebenen sind (10). In den zweiten Spuren dieser wahren Umrisse sind daher die Tangenten der k^ senkrecht auf der Pro- jektionsaxe x. Die zweiten Umrisse erhält man durch die auf x senkrechten Tangenten der \'^ die Erzeugenden der Berührungs- punkte sind die zweiten wahren Umrisse, wie B^B^, ihre zweiten Projektionen die zweiten scheinbaren Umrisse, welche die k^ be- rühren.
Höchste und tiefste Punkte der k^, wie Cg", in denen die Tan- genten II X sind, erhält man durch Erzeugende aus Punkten von \, in denen die Tangenten von h^ ebenfalls jj x sind, so aus C^. Denn die Berührungsebenen nach solchen Erzeugenden müssen parallel zu X sein, k^ und k^ sind Parallelprojektionen von einander, daher,
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I, 12—13. Die krummen Flächen; der Cylinder und Kegel.
9
Tor und nach dem Umlegen der Projektionsebenen in einander, per- spektiv-affin mit x als Axe und Pi P^" als Strahl. Ist k^ ein Kreis,
Fig. 8.
80 ist Äg eine Ellipse, von welcher konjugirte Durchmesser aus solchen des Kreises erhalten werden, wie z. B. diejenigen mit den Endpunkten B2 und Cg, und deren Axen M^D^j M^E^ nach den- jenigen Punkten D, E von x laufen, durch welche der Kreis gebt, der aus einem Punkte der x als Mittelpunkt durch die Mittelpunkte -ifj und M^ der hy^ bezw. Äg gezogen wird (I, 377, 1)).
Man bemerkt, daß bei dem Kreiscy linder in jeder Projektion die eine Hälfte der Spur und der Erzeugenden des Cylinders verdeckt ist. •
13. Aufg. An einen gegebenen Cylinder in einem durch die eine Projektion gegebenen Punkte desselben die Berührungsebene m legen,
Aufl. Sei der Cylinder derjenige der vorigen Nr., P' die ge- Fig. s. gebene erste Projektion des Berührungspunktes, so legt man durch P' die erste Projektion der Erzeugenden, welche die k^ in Pj und P* trifift, zeichne die zweiten Projektionen der durch diese Punkte gehenden Erzeugenden, deren zweite Spuren Pg und Pg* seien, und bestimme auf, ihnen die zweiten Projektionen P" und P*" des Be- rührungspunktes. Die Berührungsebenen in jedem dieser Punkte
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10
I, 13—15. Die krammen Flächen im allgemeinen.
haben zu ersten Spuren bezw. die Tangenten t^ und ti* an k^ in Pi' und Pj*', 80 dafs die zweiten Spuren t^ und ^* durch Punkte auf X und durch Pg", bez. P^*" bestimmt sind. Ist der Punkt auf x nicht erreichbar, wie bei ^j, so mufs man noch einen zweiten Punkt von ^2, etwa vermittelst einer durch P gezogenen Parallelen zu ti bestimmen.
Die Schnittlinie s der beiden Berührungsebenen ergibt sich | r. 14. Äufg. Einen dwch die beiden Projektionen seiner Leitlinie l und seiner Richtlinie r gegebenen Cylinder dartfusteUen und an ihn durch einen außerhalb gegebenen Punkt P eine Beriihrungsä>ene m legen, ^g.9. Aufl. Durch eine Anzahl von Erzeugenden bestimme man die beiden Spuren ky^ und k^ des Cylinders; seine scheinbaren umrisse
sind die parallel zu r' ^' • an r und parallel zu r"
an V gezogenen Tan- genten. Da r' eine Spitze hat, so geht durch diese ein schein- barer Umriß. Die Be- rührungspunkte der Tangenten werden nach Ij 198 f. gefunden, und dadurch die Spuren der wahren Umrisse be- stimmt — Die durch P gehende Berührungs- ebene, weil sie eine Er- zeugende enthält, nach welcher sie berührt^ ent- halt auch die durch P parallel zu r gezogene Gerade, deren Spuren Pj und Pg sind. Die aus P/ an \ und die aus Pg" an k^ gezogenen • Tangenten fj, ^j* ^j** bezw. t^y ^*, t^* sind die Spuren der Berüh- rungsebenen und müssen sich paarweise auf x treffen. Die Be- rührungspunkte der \ und die der k^ müssen paarweise auf einer Berührungserzeugenden liegen.
Ist P eine Lichtquelle, so sind die Berührungserzeugenden die Eigenschattengrenzen und die ersten und zweiten Spuren der Be- rührungsebenen die Schlagschattengrenzen auf F^ und Fg.
16, Aufg, An einen Cylinder, dessen Richtlinie r und dessen ebene Leitlinie l gegeben sind, letztere durch die Spuren e^, e^ ihrer Ebene £ und durch ihre erste Projektion V, sollen parallel m einer gegebenen
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v^^
I, 15. Die krummen Flächen; der Cjlinder und Kegel.
11
Geraden g die Berührungsd>enen gelegt, und es sollen seine Umrisse gezeichnet toerden,*
Aufl, Die Berührungsebene muß mit g und r, also mit der ^ig. lo. Ebene F parallel sein, welche durch die sich schneidenden g und r (oder durch Parallele zu ihnen) bestimmt wird, deren erste Spur f^ ist,
Fig. IQ.
und deren zweite mit f^ parallel läuft £ und eine zu F parallele Ebene schneiden sich in der Geraden h {h\ h"), und mit dieser parallel hat man nur Tangenten an l vermittelst der ersten Pro- jektion zu ziehen, so bestimmen diese durch ihre auf e^ und e^ liegenden Spuren, wie 2\ und T^, die mit /i und f^ parallelen Spuren der Berfihrungsebenen, wie ^ und ^.
Die umrisse in der ersten Projektion erhält man als Tangenten an V parallel zu r\ diejenigen in der zweiten Projektion nach der eben gelösten Aufgabe, indem man au den Cylinder berührende Ebenen parallel zur zweiten projicirenden Ebene von r legi Eine solche Ebene schneidet die E nach der Geraden i und die parallel zu i' an V gezogenen Tangenten bestimmen durch ihre Berührungspunkte,
Ei MTV))
12
I, 15 — 16. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Fig. 11
wie (K\K")y die Erzeugenden, deren zweite Projektionen, wie ifc", den zweiten Umriß bilden. Die zweite Projektion l" der l kann leicht als affine Figur zu V gezeichnet werden, wobei die Affinitäts- strahlen senkrecht zu x laufen und E^H die Affinitätsaxe bildet, wenn R der Schnittpunkt von K und V (I, 140). Ist V eine Ellipse, so ist auch l" eine solche, und wird dann leicht durch zwei konjugirte Durchmesser, oder durch die Axen, die man aus ihnen bestimmt, gezeichnet.
16. Aufg. Einen durch seine in Pj liegende Leitlinie \ und seine Spitze S gegebenen Kegel darzustellen.
Aufl. Die Leitlinie h^ ist zugleich die erste Spt4r des Kegels, die zweite Jc^ findet man mittelst Erzeugender P^SP^. Die ersten
Fig. 11.
scheinbaren Umrisse sind die aus S' an k^ gezogenen Tan- genten wie S'Ai] die zuge- hörigen wahren Umrisse liefern Punkte von Äj, wie A^", in denen die Tangenten J_ x stehen. Die zweiten scheinbaren Umrisse werden vermittelst der an kl senkrecht zu x gezoge- nen Tangenten erhalten; sie sind die zweiten Projektio- nen der Erzeugenden, wie B"S"B^\ welche von den Berührungspunkten, wie JBj, jener Tangenten ausgehen, und berühren die k^. Die höchsten und tiefsten Punkte C^ und D^ der k^ erhält man durch die zu X parallelen Tangenten an Äi, und durch die Erzeugen- den aus deren Berührungs- punkten Gl und Dj. — Man bemerkt, daß die Erzeugenden in jeder Projektion in der Spitze ihre Sichtbarkeit wechseln, ausgenommen die Umrisse.
kl und ^2 sind perspektiv-kollineare Figuren mit S als Mittel- punkt und mit x als Axe; die durch S' parallel zu x gezogene Gerade r ist die Gegenaxe der P^. Nach Umlegung der Pg im Pj, liegt für kl und Äg der Eollineationsmittelpunkt S"' auf S'S'\ derart, daß S'S'" = S^S" = dem ersten Abstände des S (I, 306). S"' ist nützlich zur Bestimmung mancher sonst unsicheren Punkte
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I, 16—18. Die krummen Flachen; der Cylinder und Kegel. 13
der k^. — Wenn Tc^ ein Kegelschnitt^ so ist auch h^ ein solcher; in der Figur sind beide Ellipsen. C^D^ ist ein Durchmesser der Ic^r M^ ihr Mittelpunkt, der als Projektion von dem leicht zu be- stimmenden Punkte Ml der C^ B^ zu betrachten ist. Aus der durch Ml parallel zu x geführten Sehne der h^ ergibt sich der zu C^D^ konjugirte, mit x parallele Durchmesser der Äj. Die Pole dieser Sehnen von \ und Tc^ liegen bezw. auf der r der Pj und auf der unendlich fernen r" derP^. — Kürzer erhält man auch so den zu Cj^Dg" konjugirten Durchmesser der ig. Man schneidet die r' mit (7/ Dl' in üi, zieht aus R^ die beiden Tangenten an üj, so schnei- den diese auf x eine Länge EF gleich dem gesuchten konjugirten Durchmesser ab. Denn es projicirt sich auö S auf P^ der Punkt R^ in den unendlich fernen Punkt B^ von C^'D^\ daher die Tangenten aus Bi 2Ji \ ia die Tangenten aus iZg an Jt,, und diese gehen bezw. durch Ey F und durch die Endpunkt« des gesuchten Durchmessers.
17. Aufg. An einen gegebenen Kegel in einem durch die eine Ftqjektion gegebenen Punkte desselben die Berühmngsd)ene zu legen.
Aufl. Sei der Kegel derjenige der vorigen Nr., P' die gegebene *^- "• erste Projektion des Berührungspunktes, so bestimme man, wie in Nr. 13 für den Cylinder, mittelst der durch P gehenden Erzeugenden und deren Spuren Pj, P^* auf Äj und Pg, P,* auf Äj, die zuge- hörigen zweiten Projektionen P", P*". Die Berührungsebenen in beiden Punkten haben dann zu ersten Spuren die Tangenten fj, tj* an hl in P,, Pj* deren Schnittpunkte mit x und Pj, P,* die zweiten Spuren t^, t^* bestimmen, welche Jc^ berühren müssen. Ist ein Schnittpunkt auf x unzugänglich, wie der auf t^, so liefert eine parallel zu ^ durch S (oder P, oder einem andern Punkt der SP) gezogene Gerade einen zweiten Punkt der ^. Die Schnittlinie s beider Ebenen muß durch S gehen.
18. Aufg. Von einem geraden Kreiskegel sind die beiden Pro-pig.ia. jektionen der Höhenlinie SM und der Halbmesser r des Grundkreises gegeben; man soll ihn darstellen, aus einem außerhalb desselben gege- benen Punkte L die beiden BerOhrungsebenen an ihn legen und seinen SchaMen für L als Lichtquelle bestimmen^
Aufl. Man nehme eine zur ersten projicirenden Ebene der SM parallele Projektionsebene P, an, lege dieselbe in die durch M gehende horizontale Ebene um, bestimme S'"M"' {M'M"'±S'M% W B S'M durch M'\ Ä" II X durch Jf ", S'S''' J_ h\ Abstand S'"Ä' .= Abstand S"h''), so ist die dritte Projektion des halben Grund- kreises die auf S"'M"' senkrechte M'" B'" = r. Daraus ergibt sich vom Grundkreis die erste Projektion als Ellipse mit A' M'C 1, M'S' und = 2r als große und B'M'D' in S' M' als kleine Axe, und
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I, 18. Die krnmmen Flächen im allgemeinen.
die zweite Projektion als Ellipse mit den konjugirten Durchmessern •^"0" ( B a;) und .JB"D". (Abst. 5"A" = Abst B'"W). Die Umrisse des Kegels sind die Tangenten aus 8' und S" an jene Ellipsen und man könnte sie wie für den Cylinder in Nr. 15 bestimmen.
Einfacher und genauer ^^' geschieht es durch die
den Kegel entlang sei- nes Grundkreises be- rührende Kugel, deren Mittelpunkt N auf der AxeSJlf mittelst ^"iff"' J_ 8"' B'" gefunden wird, und dessen Halb- messer = N'"B'" ist. Zieht man den ersten und zweiten schein- baren ümriss dieser Kugel aus -N", N" mit JV^'"^"' als Halbmesser, so sind die Umrisse un- seres die Kugel berüh- renden Kegels die aus 8' und S" bezw. an jene Kreise gezogenen Tangenten und ihre Berührungspunkte mit dem Kreise sind auch die mit den Ellipsen. — Am genauesten und kürzesten erhält man aber den Aufriß des Kegels in der Weise wie den Grundriß, indem man die Grundellipse aus ihren Axen verzeichnet (große Axe _L M" 8" und = 2r, kleine Axe in M' 8" durch eine Umlegung der zweiten projicirenden Ebene der M8).
Die durch L zu legenden Berührungsebenen des Kegels ent- halten, weil die Berührungserzeugenden durch die Spitze gehen, die Gerade LS\ diese schneidet in Q {Q"\ Q\ Q") die Ebene des Grund- kreises, und dessen Tangenten aus Q sind in den Berührungsebenen enthalten. Dieselben zieht man am kürzesten als Tangenten aus Q' und Q" an die elliptischen Projektionen, bestimmt deren Be- rührungspunkte Ey F (etwa mittelst konjugirter Sehnen), wodurch
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I, 18—20. Die krummen Flachen; der Cylinder nnd Kegel. 15
sich die Berührungszeugenden SE^ SF als Eigenschattengrenzen er- geben. Auch konnte man die Umlegung des Grundkreises mit Q in eine zu F^ parallele Ebene benutzen.
Der Schlagschatten des Grundkreises aus L auf F^ ist in unserem Falle eine Ellipse, die man mittelst der ersten und zweiten Pro- jektion bestimmt. Der Schatten B^D^ des Durchmessers BD ist wieder ein Durchmesser der Schattenellipse, weil die Endtangenten zu ^C und unter einander parallel sind. Der Mittelpunkt H^ von B^D^ ist der Schatten vom Punkte H\ der auf B'D' durch den Strahl L'H^ erhalten wird; daher ergibt sich in der Schlagschatten- ellipse der zu B^D^ konjügirte Durchmesser, welcher durch fli parallel zu Ä'C gezogen wird, als Schatten der durch IT parallel zxxÄ'C gezogenen Sehne der Grundellipse A' B' C durch Strahlen aus L'.
Die Schatten der Berührungsgeraden 8E, SF werden durch die Schatten E^y JP^ der Berührungspunkte, und durch die Schatten der Spitze S^ auf F^ und S^ auf Fg bestimmt. Ist, wie in der Figur, Sj nicht zugänglich, so schneidet man die Berührungsebenen durch eine H F^ durch S gelegte Ebene in SGy SK, und zieht mit ihnen die Schlagschatten in F^ parallel. Der Schlagschatten geht durch einen Bruch auf x von F^ in Fj über.
19. Aufg. Einen Kegel, der durch seine Spitze S und a) die beiden FtcjekHonen seiner unebenen Leitlinie l, oder b) durch die eine Projektion seiner ebenen Leitlinie und die Spuren von deren Ebene gegeben ist, darzustellen, und an ihn eine zu einer gegebenen Geraden g paraüde Berührungsä)ene zu legen.
Aufl. Die Darstellung geschieht entsprechend der des Cylin- ders in Nr. 14 und 15; die Berührungsebene enthält die durch S parallel zu g gehende Gerade.
20. Übungsaufgaben.
1) Die beiden Spuren eines ümdrehungscylinders, dessen Axe und Axenabstand der Erzeugenden gegeben sind, und seine Eigen- und Schlagschattengrenzen auf F^ und F, bei gegebener Richtung der parallelen Lichtstrahlen zu bestimmen.
2) Die zweite Spur eines Kegels zu bestimmen, dessen erste Spur eine Hyperbel mit einer auf x senkrechten Hauptaxe ist, und dessen Spitze senkrecht über dem Hyperbelmittelpunkte liegt und eine Höhe gleich der ideellen Halbaxe der Hyperbel besitzt
3) An einen gegebenen a) Cylinder oder b) Kegel eine Be- rührungsebene von gegebener erster Neigung zu legen.
4) An einen gegebenen Kegel durch einen außerhalb desselben gegebenen Punkt parallel zu einer gegebenen Ebene eine berührende Gerade zu legen.
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16 I, 21— 22. Die krammen Flächen im allgemeinen.
in. Der Kegel zweiten Grades.
21, Projicirt man einen Kegelschnitt, sowie einen Punkt und eine Gerade seiner Ebene, die zu ihm gegenseitig Pol und Polare sind, aus einem Punkte S bezw. durch einen Kegel (zweiten Grades), durch eine Gerade und durch eine Ebene, so nennt man diese Gerade p und Ebene P, welche durch die Spitze S des Kegels gehen, gegen- seitig Polare und Polarebene m dem Kegel, und es übertragen sich die projektiven, insbesondere die harmonischen Eigenschaften (I, 340 S,) auf die projicirenden Gebilde. Daher ist in jeder Ebene, die durch eine aus S gezogene Gerade p gelegt wird, die p von P durch den Kegel, d. i, auch die p von einer Geraden der P durch zwei Er- zeugende des Kegels, harmonisch getrennt; und reciprok ist in einem Ebenenbüschel, dessen Axe ein aus S in einer Ebene P gegebener Strahl bildet, die P von ihrer Polaren p durch den Kegel, d. i. auch die P von der durch p gehende Ebenen durch zwei Berührungsebenen des Kegels, harmonisch getrennt (I, 341, 3)). Insbesondere wird auf jeder zu der p parallelen Geraden die Strecke zwischen ihren Schnitt- punkten mit dem Kegel durch die P halbirt; und reciprok hat in jeder mit der P parallelen Ebene der durch Schnitt mit dem Kegel entstehende Kegelschnitt den Schnittpunkt mit der p zum Mittel- punkte.
Man nennt nun jeden Strahl aus 5, weil er die Mittelpunkte paralleler Kegelschnitte der Fläche enthält, einen Dtirchmessery und jede Ebene aus 5, weil sie eine Schaar paralleler Sehnen der Fläche halbirt, eine Durchmesserebene des Kegels.
Zwei Durchmesser nennt man Jconjugirt, wenn jeder in der Polarebene des andern liegt, und zwei Durchmesserebenen, wenn jede durch die Polare der anderen geht (I, 344). Drei Durchmesser bilden ein Polardreikant, wenn jeder jedem andern konjugirt ist; dann ist auch jede seiner Seitenflächen jeder anderen konjugirt a, 345).
Einen Kegel n. Ordnung oder n, Klasse nennt man einen sol- chen, der von jeder Ebene bezw. in eine Kurve n. Ordnung oder n. Klasse geschnitten wird, oder, was dasselbe, der von jeder durch seine Spitze gelegten Ebene in n reellen oder imaginären Geraden geschnitten, bezw. an den durch jede aus seiner Spitze gezogene Gerade n reelle oder imaginäre Berührungsebenen gelegt werden können. Ein Kegel zweiter Ordnung ist auch zweiter Klasse und soll als zweiten Grades bezeichnet werden.
Aus Nr. I, 319 überträgt sich:
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I, 21—23. Der Kegel zweiten Grades. 17
Zwei beliebige projektive Ebe- Zwei beliebige projektive Strah- nenbüschel; deren Axen sich lenbüschel; deren Mittelpunkte schneiden, erzeugen einen Kegel zusammenfallen, erzeugen einen zweiter Ordnung, der alle Schnitt- Kegel zweiter Klasse ^ der von linien entsprechender Ebenen ent- allen Verbindungs ebenen entspre- hält. chender Strahlen berührt wird.
Nennt man in zwei Ebenenbüscheln, deren Axen sich schnei- den, eine Ebene des einen Büschels derjenigen des andern ent- sprechend, auf welcher sie senkrecht steht, so sind die Büschel projektiv und erzeugen daher einen Kegel zweiten Grades. Der- selbe heißt ortliogonaler Kegel, Wir wollen denselben erst später zugleich mit dem orthogonalen Hyperboloide, von dem er als be- sonderer Fall angesehen werden kann, näher betrachten.
22. Ein Durchmesser eines Kegels, der senkrecht auf seiner Polarebene steht, heißt eine Axe desselben. Es wird sogleich ge- zeigt werden, daß es stets wenigstens eine solche gibt. Gibt es aber eine, so gibt es noch zwei oder noch unendlich viele. Denn in der auf der Ausgangsaxe senkrechten Polarebene bilden die kon- jugirten Durchmesser eine Involution (I, 358), bei welcher entweder ein Paar oder alle Paare zugeordneter Strahlen auf einander senk- recht stehen (I, 348) und daher Axen sind, indem die Polarebene einer jeden durch den konjugirten Durchmesser und die Ausgangs- axe geht. Im ersten allgemeinen Falle bestehen daher drei auf ein- ander senkrechte Axen der Fläche; dieselben bilden ein Polardrei- kant, und seine Ebenen heißen die Hawptebenm der Fläche. Im zweiten Falle bilden die Ausgangsaxe und alle auf ihr senkrechten Durchmesser die unendlich vielen Axen der Fläche. Führen wir nun den Beweis für das Bestehen einer Axe, indem wir sie zu kon- struiren suchen.
23. Aufg. Die drei Axen eines Kegels zweiten Grades m kon- struiren, der durch einen Kegelschnitt c als Leitlinie und durch seine Spitze gegeben ist.
Aufl. Sei die Ebene P von c die Projektionsebene, 8 die senk- Fig. is. rechte Projektion der Spitze, deren Höhe SH = h gegeben sei. Die drei Axen, wenn solche bestehen, schneiden die P in Punk- ten P, Q, 2J, und diese bilden ein Polardreieck in Bezug auf c (21). Femer sind die Axen die Kanten eines rechtwinkligen Dreikants, so daß die Projektion jeder Axe, wie SP, senkrecht auf der Spur ^iJ^der gegenüberstehenden Seitenfläche steht, also S der Höhen- schnittpunkt des Dreiecks PQB ist Zeichnet man aus S als Mittel- punkt mit dem Halbmesser h einen Kreis A;,, und betrachtet diesen als die ideelle Darstellung eines imaginären Kreises k in Bezug
Wiener, Lehrbaoh der darstellenden Geometrie. IL 2
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I, 23. Die krummen Flächen im allgemeinen.
auf 8 und die unendlich ferne Gerade u der P als Mittelpunkt und Axe der Kollineation (I, 408), so ist PQR auch ein Polardreieck in Bezug auf Je. Denn die QR und die Polare von P zu hi schnei- den die SP rechtwinklig; und sind dabei die (nicht verzeichneten)
Fig. 13.
v^-- .C
av/iE'
Schnittpunkte bezw. P^ und P^, so gilt wegen der Rechtwinkligkeit des Dreikants SP, . ÄP = — Ä^, und wegen der Polarität SP^ • SP = A*, also SPi "= — SPg. Daher liegen QB und die Polare von P zu ki symmetrisch in Bezug auf S, und QR ist die Polare von P zu kj weil die Polaren von P zu Äf und zu k durch S und u har- monisch getrennt sein müssen (I, 406, 1)).
Demnach kann PQR als das gemeinschafkliche Polardreieck der beiden Kegelschnitte c und k bestimmt werden.
Zu dieser Bestimmung wurde in 1, 398 filr zwei reelle Kegelschnitte kf kl das Verfahren angegeben, wonach man in F eine Gerade g wählt und zu ihren Punkten die Polaren bezw. zu k und zu Äj bestimmt; dieselben bilden zwei zu der Punktreihe g und unter einander pro- jektive Strahlenbüschel und bestimmen somit einen Kegelschnitt g^y dessen Punkte zu denen der g zugleich in Bezug auf Ä, k^ und alle Kurven des Büschels kk^ konjugirt sind; dabei bilden die Punkte auf der Geraden g und ihre konjugirten Punkte auf dem Kegelschnitte gi projektive Reihen.
Ermittelt man in gleicher Weise den zu einer zweiten Geraden h in Bezug auf das Büschel kk^ konjugirten Kegelschnitt, so ist einer der vier Schnittpunkte beider Kegelschnitte zu dem Schnittpunkte von g und h konjugirt, und daher stets reell, die drei übrigen sind aber die gesuchten Punkte P, Q, R, weil jeder zu je einem Punkte der g
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Jy 23—24. Der Kegel zweiten Grades. 19
und der h konjugirt, also der Pol ihrer Verbindungsgeraden zu k und zu h^ ist.
Ist nun einer oder sind beide gegebenen Kegelschnitte Ä, h^ imaginär, so gilt das Verfahren ebenfalls. Denn auch für einen imaginären Kegelschnitt bilden die Polaren der Punkte einer Gera- den g ein Strahlenbüschel (I, 406, 3)), welches mit der Punktreihe ^p projektiv ist, weil es perspektiv liegt mit dem Strahlenbüschel der Polaren der g zu dem reellen Kegelschnitte, der die ideelle Darstel- lung des imaginären bildet, da beide Büschel durch die Axe und den Mittelpunkt der Kollineation dieser letzteren Kegelschnitte har- monisch getrennt sind (I, 406, 1)). Weil aber der erstbezeichneto jener vier Schnittpunkte der beiden konjugirten Kegelschnitte stets reell ist, so ist es auch wenigstens einer der Punkte P, Q, B, etwa P, und dann sind es auch, wie gezeigt wurde, die beiden anderen ö, jR, wenn nicht alle Punkte einer Geraden ^JR dem P konjugirt sind, wo dann P und QB nicht nur Pol und Polare, sondern auch Mittelpunkt und Axe der Kollineation für h und Tc^ bilden.
24. Den cx)* Geraden g der Ebene P entsprechen die oo* Kegel- schnitte, welche durch die drei Punkte P, Qj B gehen, und welche man ein Büschel-Büschel oder ein Netz PQB von Kegelschnitten nennt. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade g, und ihre in Bezug auf TcTc^ konjugirten zwei Punkte nebst P, Q, B den zu g konjugirten Kegelschnitt g^. Es kommt nun darauf an, die beiden Kegelschnitte, welche P, Qy B durch ihre Schnittpunkte ergeben, möglichst günstig für die Einfachheit der Ausführung zu wählen.
In I, 398 wurden bei zwei beliebigen Kegelschnitten h, \ als jene konjugirten Kurven zwei Hyperbeln gewählt; es ist aber vor- teilhafter und möglich, solche Kurven des Netzes PQB zu wählen, deren Schnittpunkte nicht durch Verzeichnung dieser Kurven selbst gefunden werden, sondern vermittelst eines beliebigen, vielleicht schon zu anderem Zwecke verzeichneten Kegelschnittes und eines Kreises. Als diesen Kegelschnitt wählt man die Leitlinie c des Kegels, und als jene konjugirten Kurven diejenigen beiden Kegelschnitte c^, Icy des Netzes PQB, deren eine Cj mit c ähnlich und ähnlich gelegen, und deren andere ein Kreis ist, welche also bezw. durch die unendlich fernen Punkte des c und des Kreises Je (sowie des kt) gehen und durch sie (und durch P, Q, B) bestimmt sind. Projicirt man dann c^ in c aus einem ihrer Ahnlichkeitspunkte, so projicirt sich bei derselben Projektionsweise der Kreis \ wieder in einen Kreis Äg, und dessen Schnittpunkte mit c projiciren sich wieder rückwärts auf k^ in die Puidite P, Qy B und in einen weiteren vierten Punkt*).
*) Die BestiminuDg der Schnittpankte zweier Eegelschnitte durch irgend
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20 I) 24—25. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Der zu einer Geraden g in Bezug auf die Grundkurven c^ Je konjugirte Kegelschnitt g^ kann auch als der Ort der Pole der Geraden g zu allen Kegelschnitten des Büschels ch betrachtet wer- den. Denn sei Ä^ der Pol der g zu einem Kegelschnitte dieses Büschels, so liegt der zu A^ in Bezug auf das Büschel cJc kon- jugirte Punkt auf g (I, 397); also ist Ä^ ein Punkt des zu g kon- jugirten Kegelschnittes g^. Der zu der unendlich fernen Geraden u konjugirte Kegelschnitt m enthält daher die Pole der u zu den Kegelschnitten des Büschels ck, d. h. ihre Mittelpunkte, und heißt deswegen der Mittdpunktskegelschnitt des Büschels. Sind a und b die Axen von c, so sind diese auch mit zwei konjugirten (auf einander senkrechten) Durchmessern des imaginären Kreises 1c parallel, so daß ihre unendlich fernen Punkte A und B bezw. zu B [und A, also zu Punkten der u in Bezug auf das Büschel ch konjugirt sind und daher dem Kegelschnitte m angehören, m ist demnach eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten mit a und b parallel laufen; außerdem geht m durch die Mittelpunkte M und S der c und ky und durch die noch unbekannten Punkte P, Q, B, indem m dem Netze PQB angehört
25. Zu der weiteren Entwicklung brauchen wir folgenden Hüfssatz: „Ist in einem durch zwei Kegelschnitte c und k bestimm- ten Kegelschnittbüschel ck die Kurve m der Mittelpunktskegel- schnitt (konjugirt zu der unendlich fernen Geraden Uj und ange- horig dem Kegelschnittnetze des Polardreiecks PQB von c1c)y und sind IJ und F zwei in Bezug auf m konjugirte Punkte einer Ge- raden gj so bilden deren in Bezug auf das Büschel ck konjugirten Punkte ?7i, Fj die Endpunkte eines Durchmessers des zu ^f in Be- zug auf ck konjugirten (und dem Netze PQB angehörigen) Kegel- schnittes 5^1 ." Denn der involutorischen Punktreihe der CT, F auf ^
einen festen verzeichneten Kegelschnitt nnd einen Kreis gibt Kartum in seiner gekrönten Preisschrift „tJber geometrische Aufgaben dritten und vierten Gra- des, 1869*'. — Zwei Auflösungen der Au%abe der Axenbestimmung eines Kegels zweiten Grades liefert Chctsles in seiner „Geschichte der Geometrie*', deutsch von Sohncke, S. 79. Dieselbe Aufgabe löst Herr Felz in ,,die Axen- bestimmung der Kegelflächen zweiten Grades'* (Sitznngsber. d. Wiener Akad. der Wiss. B. 69, Abtlg. 2, 1874, S. 215) mittelst einer Hil&hyperbel und eines Kreises. Die oben gegebene Auflösung ist aus dem Aufsatze des Herrn Solin „Über die Konstruktion der Axen einer Kegelfläche zweiten Grades" (Sitznngs- ber. d. böhmischen Ges. d.Wiss. 1885) entnommen. Eine andere Auflösung dieser Aufgabe gibt Herr Felz^ anschließend an Ghasles und Kortum, ebenfalls mit Hilfe des Leitkegelschnittes des Kegels und eines Kreises in „Bemerkung* zur Axenbestimmung der Kegelflächen zweiten Grades*' (Sitznngsber. d. Wiener Akad. d. Wiss., B. 92, Abtlg. 2, 1885).
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I, 25. Der Kegel zweiten Grades. ^1
entspricht die damit projektive, also ebenfalls involutorisehe Punkt- reihe der üi, Vi auf ^r, ; und da die Doppelpunkte der in Bezug auf m konjugirten Punkte J7, V der g die Schnittpunkte von g und m sind, so sind die Doppelpunkte der Reihe der üj, Fj auf g^ die Schnittpunkte des g^ und der u, und der Mittelpunkt ihrer Involution ist der Pol der u zu g^ oder der Mittelpunkt des g^] d. h. durch diesen Mittelpunkt geht jede Gerade Ui V^ oder sie ist ein Durchmesser des g^.
Benutzen wir diesen Satz zur Bestimmung der beiden von M und S ausgehenden Durchmesser MD und 8E der m, und dadurch ihres Mittelpunktes U, als Schnittpunkt der Durchmesser^ indem wir m als g^ und u als g annehmen. Der zu M konjugirte Punkt in Bezug auf c und h ist der Schnittpunkt der Polaren von M bezw. zu c und k, d. i. der u und des auf MS senkrechten Durch- messers des h, also der unendlich ferne Punkt N auch des auf MS senkrechten Durchmessers MN des c. Zu diesem auf u liegenden Punkte N ist in Bezug auf m derjenige Punkt Nf der u konjugirt, welcher von ihm durch die Asymptoten von m, also auch durch die unendlich fernen Punkte Ä und B der a und b harmonisch ge- trennt ist^ welcher also auf dem zu MN in Bezug auf a und b symmetrischen Durchmesser MN' liegt. Der zu N' in Bezug auf das Büschel cJc konjugirte Punkt ist aber der Schnittpunkt der Polaren von Nf bezw. zu c und zu Ä, d. i. der zu MN' konjugirten Durchmesser MD von c und SD (_L MN') von h. Also sind M, D konjugirt in Bezug auf ch zxx den zweien in Bezug auf m zu einander konjugirten Punkten N, N' ] daher ist MD ein Durch- messer und sein Mittelpunkt U der Mittelpunkt von m. Daraus ergibt sich ein zweiter Durchmesser SUE von m durch UE = SU. Doch wollen wir von diesem Durchmesser auch die unmittelbare Bestimmungsweise angeben, weil wir sie zur weiteren Erörterung, wenn auch nicht zur weiteren Konstruktion notwendig haben. Zu S ist in Bezug ai^f c und h der unendlich ferne Punkt F des zu MS konjugirten Durchmessers MF des c konjugirt, weil durch F die Polaren von S zu c und zu h (nämlich u) gehen. Der zu F in Bezug auf m konjugirte Punkt der u ist F'y wenn MF' sym- metrisch mit MF in Bezug auf a ist. Die Polaren von F' zu c und i sind bezw. ME und SE^ wenn ME symmetrisch mit MS in Bezug auf a (weil MS die Polare von jF) und wenn SE ±. MF'.
Um nun die bezw. durch die unendlich fernen Punkte von c und h gehenden Kurven c^ (nicht verzeichnet) und Jc^ des Netzes PQR zu bestimmen, müssen wir zuerst die Geraden Cg, Jc^ ermitteln, deren konjugirte in Bezug auf cJc sie sind. Die unendlich fernen
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22 Ii 2&* I^id krummen Flächen im allgemeinen.
Punkte uc des c, ob reell oder imaginär^ sind die Doppelpunkte der Involution der auf u in Bezug auf c konjugirten Punkte; dieselbe ist durch zwei Punktepaare, etwa A, B und S\ F gegeben, wenn S' der unendlich ferne Punkt der MS, Die zu ihnen in Bezug auf c Je konjugirten Punkte bilden eine Involution auf m; es sind dies von A, B bezw. J5, A, von F der Punkt Ä, von S' der Schnitt- punkt der MF mit der aus S auf MS gezogenen Senkrechten SN. Der Mittelpunkt dieser Involution ist der Schnittpunkt der BA^=^u mit der SNj d. i. auch der unendlich ferne Punkt N der auf MS Senkrechten MN. Die Axe der Involution ist dann der zu MN in Bezug auf m konjugirte, also mit MN' parallele Durch- messer TJ2^ der m. Seine Schnittpunkte mit m sind den Punkten uc konjugirt, daher ist UN' selbst die Gerade c^. Da nun auf dieser Geraden der Mittelpunkt ü der m und der unendlich ferne Punkt N' konjugirt in Bezug auf m sind, so bilden nach dem angegebenen Hilfs- satze die zu ihnen in Bezug auf ch konjugirten Punkte die Endpunkte eines Durchmessers des Kegelschnittes c^. Zu N' haben wir aber D als konjugirt gefunden, imd zu U finden wir den konjugirten Punkt Ui als Schnitt seiner Polaren Cr C/^ zu c und Jüi zu Tc, G U^ ist || MN' und wird daher durch einen weiteren Punkt G bestimmt. JU^ ist _L US und ist bestimmt durch SJ-SU ^ -^Ji?, UHJ= 90^, oder, wenn U außerhalb hi, als Linie JL U^ durch den Berührungspunkt L^ der aus U an ki gezogenen Tangente, und den Durchmesser L^SL des ki. Ci ist nun durch seinen Durchmesser DUi bestimmt.
In gleicher Weise erhalten wir E U^ als Durchmesser des Kreises \. \ geht nämlich durch die unendlich fernen imaginären Kreis- punkte, welche auf u durch die Involution der auf einander senk- rechten Durchmesser des k, oder durch das Punktepaar Ay B und Ä', JV^ {S'MN = 90^) bestimmt sind. Zu A^ B sind in Bezug auf ck wieder bezw. JB, A konjugirt; zu S' ein (vorhin bezeichneter) Punkt der MFj zu N der Punkt Jf, so daß der Mittelpunkt der Involu- tion der Punkt (-B-4, MF) oder der unendlich ferne Punkt von MF^ ihre Axe die Polare UF' dieses Punktes zu m ist, so daß, entspre- chend wie vorhin, UF''^ k^. Den Punkten F' und U sind aber in Bezug auf cÄ die Punkte E und Ui konjugirt, so daß EUi ein Durch- messer und sein Mittelpunkt K^ der Mittelpunkt des Kreises k^ ist.
Um nun c^ in den mit ihm ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitt c zu projiciren, ziehe man den zu DU^ parallelen Durchmesser Do^o ^^^ c, so bildet der Schnittpunkt 0 von JDDq und U^Uq (und der von DUq, UiDq) einen Ähnlichkeitspunkt; dabei projicirt sich der Halbmesser Üi-K^ des k^ in den mit ihm paral- lelen Halbmesser U^K des k^, wodurch k^ gezeichnet werden kann.
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I, 25—28. Die Umdrehungsfläche und ihre Berühmngsebene. 23
Die außer Uq bestehenden drei Schnittpunkte P^, Qq^ Rq von c und jfcj werden dann aus 0 in die entsprechenden Punkte Py Q, R des Kreises Jc^ projicirt, wodurch die Aufgabe gelöst ist. Zur Probe und Verbesserung unsicherer Punkte dient es, daß S der Höhen- schnittpunkt des Dreiecks PQR sein muß, und daß P, Q, R auf der Hyperbel m liegen, welche durch üf, S, D, E geht und UAy ÜB zu Asymptoten hat.
26. Übungsaufgaben.
1) Die Axen eines Kegels mit parabolischer Leitlinie c zu be- stimmen.
2) Zu untersuchen, wie sich die Auflosung unserer Aufgabe gestaltet, wenn der durch den Leitkegelschnitt c (kein Kreis) und seine Spitze bestimmte Kegel ein Umdrehungskegel ist (vergl. 23).
rv. Die Umdrehnngsfläohe und ihre Berühmngsebene.
27. Eine Umdrehungsfläche wird am leichtesten dargestellt^ wenn man ihre Axe a senkrecht auf eine Projektionsebene, etwa auf Pj, stellt Dann sind ^on den Parallelkreisen die ersten Projektionen koncentrische Kreise, die zweiten gerade Linien parallel zur Pro- jektionsaxe X] Yon den Meridianen sind die ersten Projektionen Gerade, welche durch die Projektion Ä' der a gehen, die zweiten affine Figuren, deren Affinitätsaxe a" und deren Affinitätsstrahlen parallel zu x sind. Den Umriß der ersten Projektion bilden die Äquator- und Kehlkreise, den der zweiten Projektion der zu* Pg parallele Meridian, welchen man den Haiiptmeridian nennt.
Bei einer schiefen Stellung der ümdrehungsaxe a gegen Pj und Pj sind die gleichnamigen Projektionen der Parallelkreise ähnliche und ähnlich gelegene Ellipsen, deren kleine Axen in die gleichnamige Projektion der a fallen, die der Meridiane affine Figuren, deren Affinitätsaxen die gleichnamige Projektion der a ist. Bei Aufgaben über Umdrehungsflächen vermeidet man die schiefe Stellung ge- wohnlich durch Drehung in die senkrechte Stellung, die man nach der Auflösung wieder in die erstere zurückführt.
28. Aufg. Ein UmdrehungseUipsoid entsteht durch Drehung einer Ellipse *um eine ihrer Axen. Man soll an ein solches, dessen Axe a senkrecht auf Pj steht, in einem durch eine Projektion P' gegebenen Punkte desselben, eine Benihnmgsebene legen,
Aufl. Die Projektionen der Axe a sind A\ a' {1.x), die des »ig. i*- Hauptmeridians die Gerade m' (durch A' und | x) und die (zu ihm selbst kongruente) Kurve m", eine Ellipse, deren eine (große) Axe in a' ßllt. Diese Ellipse bildet zugleich den zweiten Umriß, wäh-
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I, 28—29. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Fig. 14.
rend der erste ein aus A' mit der halben andern (kleinen) A.xe von m" als Halbmesser gezogener Kreis (ein Äquator) ist
Um P" aus V zu bestimmen, lege man durch V einen Parallel- kreis, welcher m in dem Punkte Q* trifft, dessen zweite Projektion
auf m" in q" oder $*" liegt Durch diese Punkte gehen die mit x paral- lelen zweiten Projektionen jenes Paral- lelkreises, auf denen dann P" und P*" aus P' bestimmt werden. Einem gegebenen Punkte der zweiten Pro- jektion würden zwei Punkte dessel- ben Parallelkreises in der ersten Pro- jektion entsprechen.
Die Berührungsebene in P(P',P") enthält die mit F^ parallele Parallel- kreistangente PR, deren zweite Spur sich in iJ" ergibt, und die Meridian- tangente. Man drehe den Meridian aP um a in den Hauptmeridian m, so daß P nach Q gelangt, ziehe die Tangente an w in ^, welche die a in Ä, die P2 in E trifft und S zur ersten Spur hat. Beim Zurückdrehen gelangt S nach T, und die Meridiantangente nach ÄPT (kurz Ä T= A^S"). Von der Berüh- rungsebene geht dann die erste Spur t^ || P'R' durch T\ die zweite durch B". Entsprechend findet man die Berührungsebene t^, t^ in P', P*". Die Schnittlinie v beider muß || PB in der Ebene des Äquators liegen, weil diese eine Symmetrieebene für die Fläche und für beide Berührungspunkte ist.
Die Flächennormale PN ergibt sich aus ihrem Schnittpunkte N mit a, der sich im Hauptmeridiane durch Q"N" A.Q''A" als Spitze des Normalenkegels bestimmen läßt.
29. Das einschalige Umdrehungshyperboloid entsteht durch Um- drehung einer Geraden um eine mit ihr nicht in derselben Ebene J«g. 16. liegende Axe; es sei die Axe a (-4', a") senkrecht auf P^ und BC eine Lage jener geraden Erzeugenden. Der kürzeste Abstand der- selben von a ist die mit Pj parallele, d^i B' C senkrechte Strecke A' K, deren auf BC liegender Fußpunkt K den KehVcreis be- schreibt. Gleichweit von K entfernte Punkte der Erzeugenden, wie B und (7, beschreiben gleiche und gleichweit vom Kehlkreise ent- fernte Parallelkreise, wodurch sich die Ebene des Kehlkreises als Symmetrieebene ergibt. Ein solches Paar von Parallelkreisen, von
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I, 29—80. Die ümdrehungeflache und ihre Berührungsebene. 25
denen derjenige von C die erste Spur der Fläche bilde, begrenze deren Zeichnung, welche selbst mit der Erzeugenden sich nach bei- den Seiten ins Unendliche er- streckt. Um eine Anzahl von Erzeugenden zu zeichnen, teile man die beiden Grenzkreise von By bezw. von C aus in dieselbe Anzahl n (= 16) glei- cher Teile und verbinde die von B und C in demselben Sinne um dieselbe Anzahl von Teilen abstehenden Teilungs- punkte durch Gerade. Damit auf der gemeinschaftlichen ersten Projektion beider Paral- lelkreise beide Teilungen zu- sammenfallen, wurden B und C auf der Erzeugenden so ge- wählt, daß -^C'A'B' eine ganze (und zugleich eine ge- rade) Anzahl der Teile —
bildet. Die zweiten Projektionen
der Erzeugenden erhält man durch Übertragen der Teilungspunkte der Kreise in deren zweite Projektionen. — Der erste Umriß ist der Eehlkreis, der zweite der Hauptmeridian, welcher durch die Schnittpunkte der Erzeugenden mit der Hauptmeridianebene kon- struirt werden kann. Er ist die Einhüllende der zweiten Projek- tionen der Erzeugenden.
30, Zwei Lagen der geraden Erzeugenden g der Fläche können sich nicht schneiden , weil jede g mit jedem Parallelkreise nur einen Punkt gemein hat (5). Alle g bilden eine Schaar oder ein System von Erzeugenden.
Es gibt noch eine zweite Schaar von geraden Erzeugenden ä, toelche die Fläche ganz erßUen, so daß durch jeden Punkt der Fläche eine g und eine h geht. Denn da die Eehlkreisebene K eine Sym- metrieebene der Fläche ist, so gibt es zu jeder g eine in Bezug auf K symmetrische Gerade h, welche ganz in der Fläche liegt Zwei solche symmetrische Erzeugende g und h schneiden sich in einem Punkte des Kehlkreises, und haben gleiche, aber entgegen- gesetzt gerichtete Neigungen gegen die Umdrehungsaxe a. Auch die Symmetrie in Bezug auf eine Meridianebene liefert aus den g
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26 I, 80 — 31. Die krummen Flächen im allgemeinen.
eine neue Schaar von Erzeugenden, welche ebenfalls gleiche Neigung, wie die g^ gegen die a besitzen, weil dies von jeder einzelnen und ihrer symmetrischen g gilt. Dieselben fallen mit den Erzeugenden h zusammen, weil man durch einen Punkt der Fläche nur zwei Gerade von gleicher Neigung gegen a legen kann, welche ganz in der Flache liegen, da man nur zwei solche legen kann, die einen der Parallelkreise schneiden. Eine Gerade h erzeugt die Fläche ebenfalls durch Drehung um a.
Jede Erzeugende g der einen Sdiaar scJmeidet jede h der anderen, und zwar in der Meridianebene, in Bezug auf welche beide Gerade symmetrisch sind, d. i. in derjenigen, welche auf der Verbindungs- geraden der Schnittpunkte G und H der Erzeugenden mit irgend einem Parallelkreise senkrecht steht
Jede erste und jede zweite Proj^ction einer Erzeugenden g stellt noch eine ztoeite Erzeugende h vor^ nämlich diejenige, welche mit der ersteren bezw. in Bezug auf die E^hlkreis- oder die Hauptmeridian- ebene symmetrisch ist. In je einer dieser Ebenen, d. i. auch auf einer Umrißlinie, schneiden sich beide Erzeugende g und h und wechseln hier die Sichtbarkeit, so daß, wenn man sich die g schwarz, die h rot denkt und beide darstellt, in der Figur alle schwarz punk- tirten Erzeugenden statt dessen rot ausgezogen werden müssen. Die Berührungspunkte der Erzeugenden mit den Umrissen liegen mit anderen Schnittpunkten von je zweien dargestellten Erzeugenden wegen deren gleichförmiger Verteilung auf demselben Parallelkreise, bezw. auf demselben Meridiane.
31. Durch eine Erzeugende g^ der einen Schaar und durch jede h der anderen Schaar kann je eine Ebene gelegt werden, weil g^ jede h schneidet; aber es schneidet auch jede durch g^ gelegte Ebene E die Fläche in einer Ä, nämlich in derjenigen, welche zu g sym- metrisch ist in Bezug auf die senkrecht zu E gelegte Meridianebene. Alle durch eine Erzeugende g^ und alle durch eine solche g^ ge- legten Ebenen bilden je ein Ebenenbüschel g^ und g^, imd beide sind projektiv, wenn man zwei Ebenen derselben sich entsprechen läßt, welche durch dieselbe Erzeugende A gehen. Denn die Ebenen- büschel schneiden die Ebene eines Parallelkreises in zwei Strahlen- büscheln, welche in den Schnittpunkten Ctj, G^ von g^y g^ mit dem Kreise ihre Mittelpunkte haben, und deren entsprechende Strahlen sich in dem Punkte H dieses Kreises treffen, durch welchen eine h geht, welche also projektiv sind (I, 317). Da diese Ebenenbüschel durch drei Paare entsprechender Elemente bestimmt sind, so kann man sagen: Zwei projektive Ebenenbüschel g^, g^ bilden durch die Schnitt- geraden h je zumer entsprechenden Ebenen die eine Schaar der Erzeu-
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I, 31—32. Die Umdrehungsfläche und ihre Beröhrungsebene. 27
genden h eines einschaligen Umdrehungshyperboloids ^ wenn drei der Schnittgeraden h einer solchen Fläche angehören] dann sind die Axen gj^, g^ Erzeugende der anderen Schaar derselben Fläche^ weil sie alle h schneiden.
Eine beliebige Ebene schneidet die Fläche im allgemeinen in einem Kegelschnitte, da sie jene Ebenenbüschel in projektiven Strahlen- büscheln triflFt, deren entsprechende Strahlen sich in Punkten schnei- den, welche die fragliche Schnittkurve bilden (I, 319). Enthält die Ebene eine g oder eine A, so zerföllt der Kegelschnitt in zwei Ge- rade^ eine g und eine h.
Jeder Meridian der Fläche ist eine Hyperbel, deren reelle Axe ein Durchmesser des Kehlkreises ist und deren Asymptoten parallel ssu den mit der Meridianebene parallelen Erzeugenden g und h laufen. Denn der Kegelschnitt, in welchem die Meridianebene die Fläche triflft, hat einen Durchmesser des Kehlkreises und die ümdrehungs- axe zu Symmetrielinien und daher zu Axen, und jene Erzeugende liefern seine unendlich fernen Punkte. «
Der Mittelpunkt des Kehlkreises ist auch der Mittelpunkt aller Meridianhyperbeln und damit der Fläche.
32. Äufg. In einem durch seine eine Projektion gegebenen Pmikte P eines einschaligen Umdrehtmgshyperboloides eine Berührungsebene an dasselbe zu legen.
Aufl. Durch die gegebene Projektion lege man die gleichna- migen Projektionen der durch P gehenden Erzeugenden beider Scharen als Tangenten an den gleichnamigen Umriß, also aus P' an die erste Projektion des Kehlkreises, oder aus P" an die zweite Projektion des Hauptmeridians. In der Figur sind aus dem gege-Fig.i5. benen P' die Tangenten an den Ejreis gezogen und mit den bei- den begrenzenden Kreisen bezw. in B\ C und D\ E' geschnitten. Denkt man sich nun P oberhalb des Kehlkreises, so gehören B und E dem oberen, C und D dem unteren Grenzkreise an, woraus die zweiten Projektionen B" C", D" jE" folgen, welche P" be- stimmen. Liegt dagegen P unterhalb des Kehlkreises, so gehören B, E dem unteren, C, D dem oberen Grenzkreise an, und B*" C?*"> 2)*"^*" aind die zweiten Projektionen der Erzeugenden, welche P*" bestimmen. Im ersteren Fall gehört BC der Schaar der (schwarzen) Erzeugenden g an, DE dem der (roten) A, im zweiten Falle um- gekehrt.
Die Berührungsebene ergibt sich hier als die Ebene der beiden durch den BerQhrungspunkt gehenden Erzeugenden und enthält für den in P' projicirten Berührungspunkt die Sehnen CD und BE
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28 Ij 32—34. Die krummen Flächen im allgemeinen.
der beiden Grenzkreise. Durch deren Spuren ergeben sich die Be- rührungsebenen ^, t^ für P; tj*, t^ für P*.
Die Asymptote eines Meridians als Parallele der beiden mit seiner Ebene und untereinander parallelen Erzeugenden beider Schaaren ist mit diesen parallel, und alle Meridianasymptoten bilden daher einen Umdrehungskegel, welcher die Axe und den Mittelpunkt mit der Fläche gemein hat, den sogenannten Äsymptotenkegel. Seine erste Spur ist der aus A' durch die Mitte B^ der Verbindungslinie der ersten Spuren B'y B*' jener Erzeugenden gezogene Kreis, und seine Be- rührungsebene entlang seiner Erzeugenden von B^ enthält jene beiden parallelen Erzeugenden des Hyperboloids und berührt es daher in dem gemeinschaftlichen unendlich fernen Punkte derselben.
33, Die Berührungsebene des einschaligen Umdrehungshyper- boloids enthält die beiden durch den Berührungspunkt gehenden Erzeugenden, nach welchen sie die Fläche schneidet. Diese Er- zeugenden teilen die Fläche in vier Teile nach Art von Scheitel- und Nebenwinkeln. Die Flächenstücke der Scheitelwinkel, welche den Parallelkreis des Berührungspunktes enthalten, liegen auf der dem Flächenmittelpunkte zugewendeten Seite der Ebene, die Flächenstücke der anderen Scheitelwinkel, welche die durch den Berührungspunkt gehende Meridianhälfte enthalten, auf der abgewendeten Seite. Diese Eigentümlichkeit, welche erst später mit der Krümmung der Flächen näher untersucht werden wird, führt zu folgender Unterscheidung. Ein Punkt einer Fläche heißt hyperbolisch , wenn die Berührungs- ebene in demselben mit der Fläche eine Linie gemein hat, welche in jenem Punkte einen Doppelpunkt mit zwei getrennten Tangenten besitzt; er heißt parabolisch^ wenn in ihm der gemeinsamen Linie eine einzige Tangente zukommt; elliptisch^ wenn er ein isolirter ge- meinsamer Punkt ist. Das einschalige Umdrehungshyperboloid be- sitzt nur hyperbolische, der Cylinder und Kegel nur parabolische, das Umdrehungsellipsoid und die Kugel nur elliptische Punkte.
Ein Punkt einer Umdrehungsfläche ist elliptisch, hyperbolisch, oder parabolisch, je nachdem in ihm die Meridiankurve gegen die Umdrehungsaxe hohl, erhaben, oder im Wechsel von der einen zur andern Eigenschaft begriffen ist; der letztere Fall tritt im allge- meinen ein, wenn die Tangente der Meridiankurve senkrecht auf der Umdrehungsaxe steht, zugleich aber der Punkt nicht in der Axe liegt, oder wenn der Punkt ein Wendepunkt ist
V. Die abwickelbaren Flächen (erster Teil).
34. Man nennt gewöhnlich eine hrumme Fläche abunckelbary entunckelbar oder developpabel, wenn sie ohne Faltung oder Bruch in
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I, 34. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.) 29
eine Ebene ausgebreitet werden kann. Wie man aber eine krumme Linie nicht unmittelbar rektificiren, d. h. ihre Teile in ihrem ur- sprünglichen Zusammenhange in einer geraden Linie aneinander- reihen kann, weil nicht der kleinste Teil derselben gerade ist, so kann man auch eine krumme Fläche nicht unmittelbar abwickeln, d. h. ihre Teile in ihrem ursprünglichen Zusammenhange in einer Ebene aneinander legen, weil nicht der kleinste Teil derselben eben ist Wie wir daher eine krumme Linie behufs ihrer Rektifikation als die Grenzgestalt eines eingeschriebenen oder umschriebenen Viel- ecks ansehen mußten (I, 225), so müssen wir auch die abwickel- bare krumme Fläche, wenn wir Eigenschaften derselben aus dem Begriflfe der Abwickelbarkeit herleiten wollen, als die Grenzgestalt eines ohne Faltung oder Bruch abwickelbaren Vielflachs ansehen, und dieser Grenzgestalt uns annähern, indem wir jede Seitenfläche sich der Grenze Null annähern lassen.
Da nun die gewohnlichen Vielflache nicht abwickelbar sind, so müssen wir zur Gewinnung der Abwickelbarkeit ihren Begriff (1, 146) erweitem. Wir erreichen diesen Zweck, indem wir die Geschlossen- heit nicht verlangen. Es können aber die Seitenflächen, oder es kann die Aneinanderreihung ungeschlossen sein. Als geschlossene Seiten- flächen betrachten wir einfache Vielecke erster Art (I, 138), welche also wenigstens drei Seiten besitzen; als ungeschlossene solche mit nur zwei Seiten, welche also ein Paar Scheitelwinkel sind.
Em Vielflach in erweitertem Sinne nennen wir die Gesamtheit von ge- schlossenen oder ungesdUossenen ebenen Seitenflächen^ welche derart an- einandergefügt sind, daß jede Grremstrecke einer geschlossenere oder jede Grenzgerade einer ungeschlossenen Seitenfläche zugleich diejenige einer zweiten Seitenfläche bildet. Eine solche gemeinschaftliche Seite wird eine Kante des Vielflachs genannt Ist eine Kante begrenzt oder unbegrenzt, so müssen alle Kanten bezw. begrenzt oder unbegrenzt, und alle Seitenflächen geschlossen oder ungeschlossen sein. Sind sie unbegrenzt, so fallen auf einer Kante die Scheitel der Winkel der anstoßenden Seitenflächen im allgemeinen nicht zusammen. Die zwischen zwei solchen Scheiteln liegenden Stücke der Kanten bilden ein unebenes Vieleck, welches man die Bückkehrkante des Vielflachs nennt. Das Vielflach selbst ist geschlossen oder ungeschlossen, je nachdem man beim Weiterschreiten von Seitenfläche zu Seitenfläche notwendig wieder zu einer früher durchschrittenen zurückkehren oder nicht zurückkehren muß.
Wir nennen ein Vielfl4xch abunckelbar, wenn jedes beliebige^ durch eine geschlossene Linie begrenzte Stück desselben, wenn es nur keinen Teil der Bückkehrkante in seinem Inneren einschließt, ohne Faltung
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30
I, 34—86. Die krammen Flächen im allgemeinen.
oder Bruch in eine Ebene ausgebreitet werden kann, wobei wir unter Faltung die Verdoppelung benachbarter Teile verstehen. Wir wollen nun untersuchen, ob und unter welchen Umständen Vielflache mit geschlossenen und solche mit ungeschlossenen Seitenflächen ab- wickelbar sind.
35. Ein Vielflach mit geschlossenen Seitenflächen ist abwickelbar, wenn die Summe der Kantenunnkd an jeder Ecke gleich vier Rechten ist] denn dann lassen sich die um diese Ecke liegenden Seitenflächen ohne Faltung oder Bruch in eine Ebene ausbreiten, und ebenso alle in den neuen Ecken dieser Flächen anstoßenden weiteren Seiten- flächen usw. Die Ecken dürfen daher nicht konvex sein, weil bei diesen die Summe der Kantenwinkel < 4 JB ist Wenn auch beim Übergange des Vielflachs mit konvexen Ecken zu einer stetigen krummen Fläche durch unendliche Verkleinerung der Seitenflächen das Klaffen an einer Ecke unendlich klein wird, d. h. verschwindet, so wird es doch bei der Fortsetzung der Fläche in endlichem Ab- stände von jener Ecke endlich. Es muß demnach bei einem ab- wickelbaren Vielflach mit geschlossenen Seitenflächen jede Ecke nicht Fig- 16. konvex und daher wenigstens vierflächig sein. In Fig. 16 ist ein solches
Fig. 16.
mit vierflächigen Ecken veranschaulicht, welches man durch drei- maliges Hin- und Herbiegen eines Blattes Papier in jedesmal gleich breite Streifen herstellen kann, wenn die Biegungskant^u der zwei- ten und dritten Streifenschaar sich unter gleichen Winkeln gegen die Kanten der ersten Schaar auf diesen schneiden. Das Vielflach selbst ist nicht geschlossen.
Geometrisch kann dieses Vielflach durch Parallelbewegung einer regelmäßigen Zickmcklinie entlang einer anderen solchen entstehen. Fig. 17. Unter einer regelmäßigen Zickzacklinie oder einem regelmäßigen Zickzacke soll ein unbegrenzter Vieleckszug verstanden werden, dessen Ecken auf zwei psurallelen Geradeii, den Leitgeraden 9 liegen, und dessen Seiten in wechselndem Sinne gleiche Winkel (+ « und — a) mit diesen Geraden bilden. Legt man nun zwei regelmäßige, aber beliebig ver- schiedene Zickzacke bezw. in die xz- und o;^ Ebene eines rechtwinkligen Koordinaten-
Pig. 17.
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I, 86. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.)
31
Systems^ 0, xyg^ derart daß von dem ersten die Mittellinie zwischen den beiden Leitgeraden in die xAxe, und ein Eckpunkt in die 0Axe und daß von der anderen jene Mittellinie in die yAxe, und der Mittelpunkt einer Seite in den Koordinatenursprung 0 föllt^ und läßt dann den ersteren Zickzack parallel zu seiner Anfangslage sich so bewegen, daß sein Ursprungspunkt den zweiten Zickzack (und jeder seiner Endpunkte einen damit kongruenten und parallelen) be- schreibt, so beschreibt die erste Zickzacklinie selbst ein Vielfiach, welches wir Zickzackfläche nennen wollen, und welches abwickelbar ist. Denn an jeder seiner Ecken stoßen vier Flächen zusammen, deren Kantenwinkel y, y, yi, yi eine Summe von vier Rechten haben. Sind nämlich a und ß die Winkel, welche bezw. die Seiten des ersten und zweiten Zickzacks mit der zu ihren Leitgeraden bezw. parallelen und senkrechten rrAxe einschließen, so bilden an jeder Ecke des Vielflachs die Parallele zu der + rcAxe, eine Seite des ersten und je eine der zwei hier zusammentreffenden Seiten des zweiten Zickzacks zwei recht- winklige Dreikante mit den Seiten a, /J, y und a, 180*^ — j8, y^, in denen y und Yy dem rechten Winkel gegenüber- liegen. Daher ist cos y = cos a cos j8, cos yi «=» cos a cos (180 — j8); also cos yi «= — cos y, y^ =« ISO® — y, oder 2y + 2yi = 360o. ,
Man kann nun die Zickzacklinie und dadurch auch die Zickzackääche ver- mittelst einer Fouriersehen Beihe durch
eine Gleichung ausdrücken. Die Gleichung der ersten, nach den Bezeichnungen in Fig. 17 für a und 6, ist*)
Fig. 18.
85 <7
2n+l
008 rr^ nX
2o
{2n + iy~"
86 / nx . 1 Snx , 1 6nx . 'cos — + -COS -^ + -- cos ^- + .
2a
2a
25
2a
.ininf.y(l)
Wir wollen die durch das erste, zweite, n** Glied der Reihe dar- gestellte Kurve die erste, zweite, n** Teilkurve, die durch die Summe der n ersten Glieder dargestellte Kurve die n^ Summenkurve nennen.
*) Vergl. z. B. Riemanns VorleBangcn Über partielle Differentialgleiobun* geD, herausgegeben von Hattendorff, 1869, S. 52.
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32 I. 36—86. Die kmmmen Flächen im aUgemeinen.
Fig. 18. Die Teilkurven sind Cosinuslinieo, und die Figur stellt die drei ersten dar, ebenso die drei ersten Summenkurven, welche die An- näherung an die Zickzacklinie veranschaulichen. Es ist in der Figur OÄ == a, OB ^^ h. Man kann leicht aus Nr. 48 oder aus der späteren Bestimmung der Evolute der Cosinuslinie erkennen, daß die Krümmungshalbmesser aller Teilkurven in ihren Scheiteln = r = a* : 26 «= JSi^o sind, und daß derjenige der n^ Summenkurve in ihrem Scheitel = r : n ist, also bei zunehmendem n die Null zur Grenze hat
Die Gleichung der zweiten Zickzacklinie mit den entsprechen- den Beständigen a', 6' erhält' man unter Beachtung, daß der Ur- sprung um -f öt' verschoben ist,
2W+1 , ^ = -.^2'' (2^^!)^ ^^
Die Gleichung der Zickzack fläche y welche durch Parallelverschie- bung der ersteren entlang der letzteren Kurve entsteht, schreibt man zweckmäßig in der Form der zwei Gleichungen
2m-f 1
2a
■n{x — x^)
^_86 ^
^~n'2j (2w + l)» —
0
Jcos~--r — i^4- — cos — 4 ^ + örCOS — V— ^^-f --in mf.):
'nr\ 2a ' 9 2a ' 26 2a ' )
cos -^— « (y — a )
n'V^^ 2a' ^9^^^ 2a' ^^26^^^ 2a'
• ininf.Y
(3)
welche Gleichungen man durch Einsetzen des Ausdruckes von x^ in die erste Gleichung in eine einzige vereinigen könnte.
36. Nach Art dieses abwickelbaren Vielflachs mit geschlossenen endlichen Seitenflächen kann man auch abtvickelbare Flächen mit un- endlich Meinen ebenen Flächenelementen bilden. Ich habe die Weier- straßsche Cosinusfunktion*) hierzu verwendbar gefunden; dieselbe wird durch die unendliche Reihe dargestellt
jef«=» x/* b'^(io^a'*xic=^coBX7C-^bcosax7C'^l^coBa^x%'\ — in inf., (4)
*) Mitgeteilt von Herrn Pai*Z Du Bois-Reymond im Journ. f. Math., B. 79, 1874, S. 29 ff.; weiter untersucht von dem Verf. dieses Buches in dems. Journ. B. 90, 1880, S. 221 ff.
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I, 86. Die abwickelbaren Flfichen. (Erster Teil.)
33
Fig. 19.
worin a eine ungerade ganze Zahl, großer als Eins, b eine positive Beständige, kleiner als Eins, und
ab>l + ^7C
ist. In der Figur, worin a = 9 und b = 0,64 gewählt wurden, sind Fig. 19. die zwei ersten Teilkurven dargestellt; dieselben sind Cosinuslinien und werden mit zunehmendem n steiler, schon wenn a6 > 1 ist. Bei den Summenkurven, von denen die zweite verzeichnet ist, entspricht einer auf- oder absteigenden Wellenhälfte einer Teilkurve ein wenigstens in seiner Mitte eben- falls stets auf- oder absteigendes Linienstück; es ist dies durch Erfüllung jener Bedingung
o
ab > 1 + Y Ä erreicht
Die Teilkurve und dadurch auch die Sum- menkurve nähert sich mit zunehmendem n der Gestalt des geradlinigen Zickzacks, erster e des regelmäßigen, letztere eines nicht regelmäßigen. Es ist nämlich die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels der Tangente einer Teil- kurve gegen die xAxe
disidx^=^ — a^b^x sin a*x%y wird also, da ab > 1, bei wachsendem n, absolut genommen, beliebig groß, so lange jener Sinus endlich ist, und wird nur endlich, wenn sin a^x% sehr klein wird, also a" X sehr wenig von einer ganzen Zahl abweicht. Sei a" x^ die benach- barte ganze Zahl, so muß a* {x — a^i) sehr klein, oder {x — x^ : — ^
d. h. das Verhältnis der Strecke x — x^ zur halben Wellenlänge 1 : a** sehr klein sein. Zugleich nähert sich der Krümmungshalb- messer der Teilkurve im Scheitel der Null als Grenze (35), so daß die Grenzgestalt der Teilkurve der geradlinige Zickzack ist, bei wel- chem die ganze Biegung in den Punkten der Scheitel vor sich geht. Die gleiche Eigenschaft überträgt sich auf die Summenkurve.
Legt man nun eine zweite solche Kurve in die rry Ebene von der Gleichung
--^
6'" cos a'*Ä
(y-i)'
(5)
worin wieder
a'V>\^\%,
und läßt die erstere Kurve parallel zu ihrer Anfangslage sich so bewegen, daß ihr Ursprungspunkt (Koordinatenanfang) die zweite
Wiener, Lehrbnoh der dartteUenden Oeomotrie. IL
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1
34
I, 36. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Kurve beschreibt, so beschreibt die Kurve selbst eine abwickelbare Fläche mit unendlich kleinen ebenen Elementen. Die Gleichung derselben, in Form von zwei Gleichungen, ist dann
Z arr ^m &»» COS O^ X (X — X^y 0
jCi — ^ 6'» cos a'»« (» — y) >
(6)
welche Gleichungen man wieder durch Einsetzen des Ausdruckes
von x^ in die erste Gleichung in eine einzige vereinigen konnte.
Flg. 20. Die Fig. 20 veranschaulicht diejenige Fläche, welche durch die zwei
Fig. 20.
ersten Teilkurven entsteht; A^B^C^y -4^, B^y C^ ... sind Lt^en der erzeugenden ersten Kurve, BqBB^B^, CqCCiC^ sind die von deren Scheiteln beschriebenen mit der zweiten Kurve kongruenten Linien. Es ist bei den zweien zur Erzeugung einer Fläche verwendeten Kurven nicht notwendig, daß m und n gleich sind.
Die Grenzgestalt der Fläche, welche durch zwei TeiJJourven bei unendlichem m und n entsteht, ist eine äbtmckelbare ZickgcuJcfläche, weil die Teilkurven zu Grenzgestalten regelmäßige Zickzacklinien haben, deren Seiten gleiche unendlich kleine Winkel bezw. mit der Z' und xkxe bilden. Die Summenkurven der Gleichung (5) nähern sich nicht einem regelmäßigen Zickzacke; denn zwei aufeinander fol- gende Seiten einer jeden bilden mit jenen Axen verschiedene unendlich kleine Winkel (vergl. Fig. 19), weil sich die Ordinaten einer Teilkurve auf die geneigten Seiten der vorhergehenden Summenkurve auf- setzen. Bei der erzeugten Zickzackfläche (Gl. 6) ist daher die Summe
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I, 86—38. Die abwickelbaren Flachen. (Erster Teil.) 35
der Eantenwinkel an einer Ecke um einen unendlich kleinen Winkel von 360^ verschieden, d. h. diese Summe hat 36(P zur Grenze. Die Abweichung addirt sich aber bei einem endlichen Stücke der Fläche nicht zu einem endlichen Klaffen oder Überdecken^ weil die Abwei- chungen an den beiden Endecken einer Kante der Fläche gleich und von entgegengesetztem Vorzeichen sind. Die Fläche ist also (änmckelbar.
Es ist hiermit eine nicht geradlinige abunckeUbare Fläche mü unendlich kleinen (geschlossenen) Flächenelementen durch ihr Ent- stehungsgesetz und ihre Gleichung gegeben, welche vorgestellt, aber nicht durch Zeichnung oder ein Modell dargestellt werden kann.
37. Betrachten wir jetzt das wichtigere Vielflach mit nicht ge- schlossenen Seitenflächen oder mit unbegrenzten Kanten. Dasselbe ist stets cAtvickelbar, Seien die unbegrenzten Geraden 6, ^ 9, A ... die Fig. 21.
Fig. 21.
aufeinauder folgenden Kanten des Vielflachs, wobei sich e und f in A, fnnd g m B, g und h in C . . schneiden, und wobei die Seiten- flächen durch die Paare der Scheitelwinkel e/) fg^ gh . . . gebildet werden, so kann das ganze Vielflach in eine Ebene abgewickelt werden, etwa in die der ersten Seitenfläche ef, indem man alle fol- genden um f dreht, bis fg in jene Ebene nach fg' gelangt ist, dann alle auf fg folgenden, bis gh in dieselbe Ebene nach g'h' ge- langt ist, u. s. w. Das Vieleck ABC . . . ist die Rückkehrhmte des Vielflachs und teilt dasselbe in zwei Äste. Das Vielflach ist ab- wickelbary weil es bei jener Ausbreitung in einer Ebene keinen Bruch und keine Verdoppelung benachbarter Teile in einem Stücke des Vielflachs erfölyrt, das die Rückkehrkante nicht in seinem Inneren einschließt (34). Die beiderseits der Bückkehrkante liegenden Teile d^r Fläche verdoppeln sich dagegen. Zur Abwickelung ist ein Zer- schneiden des Vielflachs notwendig, wenn das Vieleck AB C . , . geschlossen isi
38. Aus einem abwickelbaren Vielflache mit unbegrenzten
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36 I, 88—39. Die krnmmen Flächen im allgemeinen.
Kanten läßt sich durch bestandige Verkleinerung der Seitenflächen als Grenzgestalt eine modeUvrharß abwickelbare hrumme Fläche her- leiten. Nimmt man als das Vieleck ABC , . ., von welchem man ausgehen kann^ ein solches an^ das in oder um eine unebene Kurve beschrieben ist; und läßt seine Seiten beständig gegen die Null als Grenze abnehmen^ so sind die Grenzlagen ihrer vei^ängerten Linien die Tangenten der Kurve, so daß eine abuncJceJbare Fläche durch die Gesamtheit der Tangenten einer unebenen Kurve gebildet unrd. Diese Tangenten heißen die Erzeugenden und die Kurve heißt die Rüde- 'kehrkante der Fläche. Sie teilt die Fläche in zwei Äste.
Ist die Rückkehrkante i einer abwickelbaren Fläche gegeben, so kann man ein Vielflach, aus welchem sie entsteht, und welches wir ihr anschließendes Vielflach nennen wollen, offenbar dadurch erhal- «igw. ten, daß man auf i die Punkte ÄfB,C,D . . . in Abständen, die man gleich machen kann, aufträgt, und die Sekanten ABF^j ^CQi • • • zieht. Diese sind dann die Kanten des Vielflachs, und die Tan- genten -4P, FQ .... der i sind deren Grenzlagen und zugleich die Erzeugenden der Fläche. Hat man eine Kurve k der Fläche, welche die genannten Erzeugenden bezw. in P, Q . . . schneidet, und fällt von P, Ö . . . die Senkrechten FF^, QQ^ bezw. auf -4J5, BG..., so entsteht auf dem Vielflach ein Vieleck Pi ^i . . ., welches der Kurve FQ ... entsprechend oder ihr anschließendes Vieleck genannt* werden soll, und welches bei der Abnahme von AB^ BG . . . diese Kurve zur Grenzgestalt hat. Andererseits entstehen bei der Abwicke- lung des Vielflachs aus den Vielecken AB . . ,, F^^Q^ . . . ebene Viel- ecke J.'JB' ..,, FiQi . . ., welche die verwandelten der ersteren sind. Zieht man in ihrer Ebene die Senkrechten F^ F'j QiQ' . . . bezw. zu A'F^'y B'Q^ . . . und macht sie bezw. gleich F^F, QiQ • » •, so bilden die Punkte F'^Q' . . . ein Vieleck, dessen Grenzgestalt eine Kurve k' ist, welche die Verwandelte von k heißt und auch mit der Grenzgestalt des Vielecks F^ öi . • • zusammenfallt.
Ebenso wie man ein abwickelbares Vielflach mit unbegrenzten Kanten als das einhüllende Vielflach der aufeinander folgenden Lagen einer Ebene ansehen kann, welche sich um wechselnde Gerade der- selben dreht, so kann man eine abwickelbare Fläche als die einhüUende Fläche einer beweglichen Ebene ansehen, und jede Erzeugende der Fläcbe als diejenige Gerade in einer jeden Lage der beweglichen Ebene, welche die Grenze ihrer Schnittgeraden sowohl mit einer vor- hergehenden, als mit einer folgenden Lage der Ebene bildet, wenn diese in die zwischenliegende fragliche Lage hineinrücken.
39. Zur Aufstellung einiger Sätze über abwickelbare Flächen und ihre Abwickelung müssen wir einige Beziehungen ermitteln, die
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I, 39. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.) 37
zugleich zwischen Linien auf der abwickelbaren . Fläche und dem anschließenden Yielflach und zwischen den Verwandelten von beiden gelten.
Indem wir J.B = J5(7«« . . ., und alle unendlich klein machen pig. w. und beachten, daß sie in Vergleich mit anderen solchen vorkommenden Großen von der ersten Ordnung (0^) sind, sind auch die Winkel ^'«' ^^'
PAP,, QBQ, ... — OS und die Unterschiede zweier solchen aufeinander folgenden Winkel
= 0* (1, 236). Daher ist PP, A"""^-^ ^\^^^
= (fi und ÖÖi = 0^5 und da
noch AP— BQ = 0\ so ist «7
pp^ ^QQ^= 0\ Außerdem
ist der Winkel von PP, und QQ, =^0^, da sie in den Ebenen PABy QBC liegen, deren Winkel OS und senkrecht auf den Linien AP,, BQi stehen, deren Winkel ebenfalls = 0^ ist Das Viereck PPi Qi Q weicht daher nur unendlich wenig von einem Parallelo- gramme ab, insbesondere ist ^ {PQ, P,Q,) = {PP, — QQ^) : PQ = 0« : 0* — OS P^ — Pi^i — 0\ — Hieraus folgert man:
1) Eine abunckelbare Fläche mrd in jedem Punkte P einer Er- zeugenden PA von ein und derselben Ebene berührt, nämlich von der Schmiegungsebene der BückkehrTcante i in deren BerOhrungspunkte A mit jener Erzeugenden. Denn die Tangente t einer durch P gehen- den Kurve der Fläche bildet mit der unendlich kleinen Sehne PQ der k einen Winkel = OS PQ mit PiQi einen Winkel OS daher auch t mit PiQi einen Winkel OS oder es liegt t in der Grenz- lage der Ebene P^BQ,, d. i. in der Schmiegungsebene der i m A.
2) Die Bückkehrkante i ist eine Schneide der Fläche, d. h, eine Kurve k der Fläche hat in .einem Punkte B der i im allgemeinen eine Spitze. Denn die beiden ir BC aneinander stoßenden Seiten- flächen ABC und BCD des anschließenden Vielflachs bilden einen Winkel 0^ und liegen auf derselben Seite von BC, außer wenn B ein Wendepunkt oder eine Spitze von i ist (I, 259, Fälle 3, 4, 5, 6). Daher gilt dies auch von den Seiten eines auf diesem Vielflache liegenden Vielecks, wenn nicht die BC selbst eine Seite des Viel- ecks bildet, in welchem Falle der Winkel zweier aufeinander folgen- den Seiten des Vielecks im allgemeinen = 180^ — 0* ist, jedoch auch 0^ sein kann. Daher hat auch die entsprechende Kurve k im allgemeinen in einem Punkte B der i eine Spitze; doch ist dies nicht notwendig, wenn die i in J? ein Rückkehrelement besitzt, oder wenn k die i in B berührt.
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38
I, 39 — 40. Die krummen Flächen im allgemeinen.
3) Die BückkehrJcante i ist bei jeder Projektion der dbunckdbaren Fläche ein Umriß derselben, weil jede Gerade, daher auch eine Pro- jicirende, welche durch einen Punkt B der i geht, die Fläche in B berührt. Denn B ist eine Spitze jeder Kurve der Fläche, worin sie von einer durch jene Projicirende gelegten Ebene geschnitten wird. Einzelne Punkte der i mit Rückkehrelementen ändern diese Eigen- schaft der Linie e nicht.
4) Ein Stück einer Erzeugenden oder einer Kurve ändert durch die Abvnckelung seine Lä/nge nicht Denn AP^ und das ganze recht- winklige Dreieck ÄP^P, also auch AP bleiben ungeändert; ebenso ändert P^Q^ seine Länge nicht; und da PQ von PiQi um 0* ver- schieden ist, so ist auch ein endliches Stück einer Kurve k von dem entsprechenden unveränderlichen Stücke des anschließenden Vielecks nur um 0^, d. h. nicht verschieden.
5) Die Tangente t einer Kurve k der Fläche und diejenige t' ihrer Verwandelten k' in entsprechenden Punkten P und P bilden gleiche Winkel mit der Erzeugenden PA, bezw. P^ A' des Berührungspunktes. Denn der Winkel der t mit P^Q^, sowie der Winkel der PA mit P^A^ sind vor und nach der Abwickelung 0\
* 6) Der Winkel zweier benachbarten Erzeugenden AP, BQ ändert
sich durch die Abioickelung nicht Denn es ist ^ PAP^ = 0^, <^ QB Q^ = 0^, ihre Differenz = 0^, und die Ebenen dieser Winkel bilden einen Winkel = 0^; daher ist ^ {PA, QB) — ^ P^BQ^ = OK Das- selbe gilt nach der Abwickelung; und da -^PiBQi ungeändert über- tragen wird, ändert sich auch ^{PA,QB), der =0* ist, nur um 0^ d. h. er bleibt ungeändert. — Demnach ändert sich der KonÜn- genzunnkd und die Krümmung der Rückkehrkante i in jedem ihrer Punkte durch die Abwickelung nicht
7) Bei dem Kegel wird die Rückkehrkante zu einem Punkte, der Spitze; in der Abwickelung gehen daher alle Erzeugende durch diesen Punkt, Bei dem Cylinder fallt derselbe ins Unendliche.
Fig. 88. ^. ^„ 40. Bestimmen wir die JLw-
Fig. 23.
ccj derung, welche die Krümmu7^g
Q R einer beliebigen Kurve auf einer
abwickelbaren Fläche durch die Abwickelung erleidet
Seien P, Q, R drei benach- barte Punkte der k oder ihrerVer- wandelten k' und sei im Räume PQ^QR = 0\ seienPi, Q„R, ihre entsprechenden Punkte auf Kant'Cn des anschließenden Viel-
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I, 40—41. Die abwickelbaren Flachen. (Erster Teil.) 39
ecks, 80 soll gezeigt werden, daß die Winkel PQB und P^Q^R^, deren Unterschiede von 180® die Kontingenzwinkel und «= 0^ sind, nur um 0' verschieden sind. Es folgt dies noch nicht daraus, daß Ä' die Grenzgestalt der Verwandelten des anschließenden Vielecks ist, weil ^ (PQ, Pi Q,) und ^ {QR, Q,R,) = 0^ sind.
In Nr. 39 ergab sich, daß PP^, QQ^, BB^, sowie die Winkel zweier solcher Strecken 0^, daß dagegen PP^ — QQd QQi ^ BB^, PQ — PiQi, Ö-B — ^i-Bi aUe 0« sind. Zieht man nun in Fig. a) QQ, * PP,, BB, # QQu wodurch auch P, Q, # PQ, Q,B, # QB wird, zieht dann in Pig.b) OQ, OB, O^i, OB^^ bezw. # mit PQ (und Pi Ö2), QR (und Q^B^), P^Q,, Q^B, der Fig. a), wodurch auch QQ^ (b) * QtQi (a), BB^ (b) # B^B, (a) wird, so sind QOB = <p, Q^OB, = 9?i die Kontingenzwinkel von PQB, bezw. Piöi^i- Zieht man noch in (b) BB^ # QQi, wodurch auch QiB^ ^ QB, so ist im Dreiecke OQQ„ OQ = 0^ $$1 = 0^ OQ — OQ, < QQ„ also = 0^, wenn nicht kleiner, ebenso in OBB^, OB — OiJg «== 0^, w. n. kl. In den Dreiecken OQQ,, OBB^ sind OQ = OB, QQ, # BB^, die eingeschlossenen Winkel Q und B wegen -^ QOB=:(fi höchstens um 9 = 0^ verschieden; daher ist OQ, — OB^ =^^^.0^ = 0^ Dem- nach sind in dem Dreiecke OQ,B^ die Seiten OQ, und OJB3 (= OQ + 0*) nur um ein 0* verschieden, und bezeichnet man den Winkel <2,OÄ,mit9, soist^iJ = 0«.<p, Q,B^^OQ,'q>'={PQ + QP)ip'y daher wegen QB ^ Q,K, auch 0^ • 9 = {OQ + O*)^', 9—9' = (0^-9') : Oö = Ol Da ferner der Winkel von Q,Q^ und B,B^ in (a) = ^ ÄjülJ^ in (b) = OS EEi = OS so ist JJ^Ä» = 0^ ^B,OB, = 0»:0^ = 0^ Daher ist auch <^ Q,OB, = (p, = 9'+ 0« = 9? + 0S w. z. b. w.
Da diese Entwickelung für die Gestalt vor und für die nach der Abwickelung gilt, also in jedem Falle der Kontingenzwinkel einer Kurve k von dem entsprechenden des anschließenden Vielecks nur um 0* verschieden ist, beide selbst aber 0* betragen, so erleidet der KonHngeneumkel einer Kurve h der Fläche durch deren Abwickelung dieselbe Veränderung, wie sein entsprechender Winkel auf dem an- schließenden Vielflache.
41. Ist nun PQBS ein Vieleck auf dem anschließenden Viel- Fig. 24. flache mit unendlich kleinen Seiten, PQB' S' seine Abwickelung in die Ebene der ersten Fläche PQA, daher BR ± PQA, QN die Verlängerung von*P^, so sind NQB, NQB' die Kontingenzwinkel 9, 9' vor und nach der Abwickelung. Zieht man BN JL QN, so ist auch JB'JV J. QN, und ^ B'NB= 6 ist der Winkel der Seiten- fläche PQA mit der Ebene NQB zweier aufeinander folgenden Seiten PQ, QB, welcher übereinstimmt mit dem Winkel der Be-
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40 I) 41—42. Die krummen Flächen im allgemeinen.
rührungsebene der Fläche und der Schmiegungsebene der Kurve in
Q. Nun ist offenbar
NR' tp' r cos 6 == ^frrw =»" = —, NB (p r '
wenn r^r^ die Krümmungshalbmesser der Je bezw. Je' in Q sind.
Die Formel sagt: Das VerJiältnis des KrümmungsJidlbmessers r einer Kurve einer abtmcJcdba^en Flocke in einem ihrer PunJcte zum
Fig. 24.
Krümmungsfidlbmesser r' ihrer VerwcmdeUen im entsprechenden Funkte ist gleich dem Cosinus des Winkels ö der Schmiegungsebene der Kurve und der Berührungsebene der Fläche in jenem PunJcte.
42. SoU der KrümmungsJuxlbmesser r' einer Vmoandelten Je' un- endlich groß werden', so muß, wenn nicht gerade schon für Je der entsprechende r •= oo ist, cos tf «= 0, tf = 90® werden, oder es muß die Schmiegungsd)ene der ursprünglichen Kurve Je in dem entsprechenden JPunJcte senJcredit auf der Berührungsebene der abwicJeelharen Fläche stehen. Dann tritt in ifc' im allgemeinen ein WendepmJet ein, in- dem im allgemeinen drei aufeinander folgende Punkte in eine Ge- rade fallen.
Sollen alle Punkte der ¥ in eine Gerade fallen, so ist sie, und auf der abwickelbaren Fläche die entsprechende Je, die kürzeste Linie zwischen irgend zweien ihrer Punkte, und heißt Joürzeste oder geodätische Linie. Bei einer solchen steht die Schmiegungsebene in jedem ihrer Punkte senkrecht auf der Berührungsebene der Fläche. Diese Eigenschaft besitzt auch die kürzeste oder geodätische Linie Je einer jeden FläcJ^] denn legt man entlang derselben die berührenden Ebenen der Fläche, so werden dieselben von einer abwickelbaren Fläche eingehüllt, welche jene Fläche entlang £ berührt, und auf welcher ebenfalls Je eine geodätische Linie ist. Die Schmiegungs- ebenen der Je stehen dann auf den gemeinschaftlichen Berührungs- ebenen beider Flächen senkrecht Ein auf einer glatten Oberfläche gespannter biegsamer Faden bildet eine geodätische Linie, weil
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II, 42—44. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.) 41
beim Gleichgewicht die Mittelkraft der Spannungen zweier aufein* ander folgenden Elemente des Fadens senkrecht auf der Fläche stehen muß, zugleich aber in der Schmiegungsebene der Fadenlinie liegt.
43. Außer durch ihre Bückkehrkante oder durch Einhüllung einer beweglichen Ebene (38) kann eine abwicMbare Fläche auch durch Leitlinien l und l^ bestimmt sein. Um durch einen Punkt Ä der l eine Erzeugende zu ziehen ; lege man aus Ä als Spitze durch li einen Kegel ^ ziehe die Tangente t der l in Ä, lege durch t eine berührende Ebene an den Eegel, so ist seine Berührungserzeugende auch die Erzeugende e der abwickelbaren Fläche, und jene Berüh- rungsebene des Kegels auch ihre Berührungsebene, weil sie die Tangente der l in A und der l^ in deren Schnittpunkte Ä^ mit e enthält Die abwickelbare Fläche, welche alle diese die l und l^ zugleich berührende Ebenen einhüllt, ist aber offenbar die verlangte, deren Erzeugende die l und l^ schneiden.
Durch Ä gehen so viele Erzeugende, als Berührungsebenen durch t an jenen Kegel gelegt werden können, als demnach die Klasse einer ebenen Schnittkurve des Kegels, d. i. einer Projektion der l^, angibt. Die Leitlinie l ist daher eine ebenso vidfache Kurve der Fläche.
Man kann auch eine oder beide Leitlinien durch Leitflächen er- setzen, die von den Erzeugenden berührt werden sollen; und die abwickelbare Fläche kann man in allen diesen Fällen auch als die Einhüllende einer Ebene ansehen, welche auf zwei Leitlinien, auf einer Leitlinie und einer Leitääche oder auf zwei Leitflächen be- rührend hinrollt. Die Erzeugenden sind stets die Verbind ungsgeraden der Berührungspunkte [derselben Ebene mit den beiden Leitlinien bezw. Leitflächen,
Liegt eine Leitlinie im Unendlichen, so wird sie durch einen Kegel gegeben, welcher sie projicirt und der RichiJcegel der abwickel- baren Fläche heißt Mit jeder Erzeugenden des Richtkegels ist eine Erzeugende der abwickelbaren Fläche parallel, und in diesen ent- sprechenden Erzeugenden sind auch die Berührungsebenen beider Flächen zu einander parallel.
44. Eine besondere Art von abwickelbaren Flächen hat für die Kurven eine Bedeutung, nämlich ihre EvoltUenflädie. Sie ist die EinhüUende der Normalebenen der Kurve und besitzt die Eigen- schaft, daß, wenn man auf ihr eine Ebene abrollen läßt, ein Punkt derselben, nämlich der in ihr liegende Punkt der Kurve, in welchem sie zu dieser normal steht, die Kurve beschreibt Denn dreht sich die Normalebene um die in ihr liegende Erzeugende der abwickel- baren Fläche, so beschreibt jener Punkt ein auf der Ebene senk-
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42
n, 44—46. Die krummen Flächen im allgemeinen.
Fig. 26.
Fig. 26.
rechtes Linienelementy also das Eleiaent der Kurve. Zieht mau iu einer solchen Normalebene der Kurve durch ihren Fußpunkt alle Normalen der Kurve , so werden diese Geraden beim Aufwickeln der Ebene auf die abwickelbare Fläche zu geodätischen Linien derselben^ deren Tangente stets der noch nicht aufgewickelte Rest der betreffen- den Normale ist Alle diese geodätischen Linien sind daher Evoluten der Kurve, deren dieselbe demnach unendlich viele besitzt Die Evolutenfläche einer ebenen Kurve ist der Cylinder, welcher die in der Ebene der Kurve liegende Evolute derselben zum senkrechten Schnitte hat.
45. Da sich zwei nahe zusammenliegende Erzeugende einer abwickelbaren Fläche nicht schneiden, so ist es von Belang, den Grenzwert des Verhältnisses des Abstandes dieser Erzeugenden zu dem Abstände ihrer Berührungspunkte auf der Rückkehrkante i zu bestimmen. Sei A ein Punkt der i, und bilden wir die Projek- tion i' der % auf ihre rektificirende Ebene in Äy so besitzt i' im allgemeinen einen Wende- punkt in Ä' (l, 260); ziehen wir dann an i' zwei untereinander parallele in den unendlich nahe bei Ä' liegenden Punkten B' und C be- rührende Tangenten, so ist der kürzeste Abstand der Tangenten der i in i^und C=S'r, wenn Ä'S'±B'S\ A'T ± CT. Ist noch A'B' = s, q) der Winkel der Normalen der i' in A' und B\ und r der Krümmungshalbmesser der t in A\ so ist
A'S' = Y sq)y q) ^= s:r, A'S' = y s* : r (I, 236, 5)), und da im
Wendepunkt r = c» = 1 : OV so ist für s = 0^ A'S' = 0*, daher auch S'T = 0^ und ST = 0^ d. b. der küraeste Abstand inveier be- nachbarten Erzeugenden einer abunckeJbaren Fläche ist unendlich Mein von der dritten Ordnung.
^
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IL Abschnitt.
Der Schnitt des Cylinders und Kegels mit einer Ebene and einer Geraden und die Abwickelung der Fläche.
L Allgemeines Verfahren.
46. Die SchniUUnie einer Jcrummen Fläche mit einer Ebene wird erhalten y indem man eine Anzfihl von Erzeugenden der Fläche mit der Ebene schneidet (I^ 256)^ und die Schnittpunkte als Punkte der Schnittkurve in der Reihenfolge der sie enthaltenden Erzeugenden durch einen stetigen Zug verbindet Da eine Fläche durch ver- schiedene Erzeugende entstehen kann^ so wählt man diejenigen; deren Projektionen am leichtesten verzeichnet werden können^ also womöglich Gerade oder Ejreise sind.
Eine vorteilhafte Lage einer schneidenden Ebene ist im allge- meinen die auf einer F senkrechte , weil dann ihre Projektion eine Gerade ist, und ihre Schnittpunkte mit den Erzeugenden sich un- mittelbar ergeben. Man wendet daher bei einer Schnittebene von allgemeiner Lage häufig solche auf einer F senkrechte Ebenen als Hilfsebenen an; man bestimmt die Schnittlinien einer solchen mit der Fläche und mit der gegebenen Ebene ; die Schnittpunkte beider sind dann Punkte der gesuchten Kurve. Manchmal sind auch andere Hilfsebenen vorteilhaft, deren Schnittlinien mit der Fläche leicht zu verzeichnende Projektionen besitzen.
Die Tangente an die Schnittkurve in einem gegebenen Punkte derselben wird als die Schnittgerade der schneidenden Ebene mit der Berührungsebene der Fläche in jenem Punkte gefunden. Denn in jeder von beiden Ebenen muß die Tangente liegen (7).
Die SchnMptmkte einer Geraden mit einer Fläche findet man, indem man durch die Gerade eine Ebene legt und ihre Schnittlinie mit der Fläche bestimmt; die Schnittpunkte dieser Linie mit der Geraden sind die gesuchten Punkte. Die Hilfsebene ist dann vor- teilhaft, wenn ihre Schnittlinie mit der Fläche sich als eine mög- lichst einfache Linie projicirt, am besten als Gerade oder Kreis.
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II, 47-48. Ebener Schnitt des Gylinders und Kegels.
n. Ebener Schnitt und Abwickelung des Oylinders.
47, Zwei ebene Schnittkurven eines Gylinders, ihre Parallel- projektionen auf ein und dieselbe Ebene, und endlich die eine Schnittkurve und die Umlegung der anderen in die Ebene der er- steren sind perspeküv-affine Figuren, deren Affinitätsaxe die Schnitt- linie beider Ebenen oder deren Projektion bildet.
Äufg. Von der SchniUhurve eines cmf P^ senkrechten Umdrehungs- cylinders mit einer auf P, senkrechten Ebene E sollen die wahre Gestalt und die bei der Abwickelung des Gylinders entstehende Verwandelte be- stimmt werden. Fig. 26 a. Aufl. Die erste Spur und Projektion des Cylinders sei der Kreis J.'B' CD', die zweite Spur und Projektion det Ebene E die
Gerade Cj, so sind beide Linien ^^' ** bezw. auch die erste und zweite
Projektion der Schnittkurve. Diese ist eine Ellipse A^BC^Dy deren große Axe A^C^ mit P^ parallel läuft, deren kleine BD auf F^ senkrecht steht.
Um die wahre Gestalt dieser Ellipse zu erhalten, drehe man sie um die zu P^ parallele Axe BD in eine zu Pj parallele Ebene. Ein beliebiger Punkt P^ der Schnittkurve beschreibt bei der Drehung einen Kreisbogen {PP^'^ Pi'Pi^^)' Die erste Projektion ArB'P;''G"'D' der gedrehten Figur zeigt die wahre Gestalt, die mit dem Kjreise A' B'CD' per- spektiv- affin ist. Die Tangente PiT trifft die Drehaxe in T und geht durch die Drehung im Grund- riß in TP;" über. Die Brennpunkte JP/" und F^" der wahren Gestalt ergeben sich aus den Berührungspunkten der E mit den beiden Kugeln, welche zugleich den Cylinder nach je einem Kreise und die E be- rühren. Fig. 26 b. 48» Bei der Abunckehing eines Cylinders werden alle Erzeugende
zu parallelen Geraden (39, 7)), jeder senkrechte Schnitt wird zu einer auf den Erzeugenden senkrechten Geraden (39, ö)), daher die Ab-
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II, 48. Ebener Schnitt and Abwickelung des Cylinders.
45
Wickelung unseres durch zwei senkrechte Schnitte begrenzten Cylin- ders zu einem Rechtecke, dessen Grundlinie gleich dem rektificirten Grundkreise und dessen Höhe gleich der Länge der Erzeugenden ist. Der durch den Mittelpunkt der Schnittkurve gelegte senkrechte Schnitt des Cylinders ist der Kreis ÄBPCD, seine Verwandelte die Gerade ÄBPCDA. Indem man den Cylinder nach der Erzeugen- den von Ä aufgeschnitten denkt, erhält mau die Erzeugenden der Teilungspunkte durch Einteilung der Rektificirten AA in vier gleiche Teile, den Punkt P durch Übertragen des Bogens BP mit- telst kleiner Bogenstücke.
Fig. 26 b.
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Die Venvxmädte der ScfmiUJcurve erhält man durch Übertragen der Stücke der Erzeugenden zwischen dieser Kurve und dem Kreise AB PCD, indem man z. B. PP^ = F'P/' macht, um die Tangente im Punkte P^ zu verzeichnen, beachte man, daß sich ihr Winkel mit der Erzeugenden PP^ durch die Abwickelung nicht ändert, und daß derselbe in dem rechtwinkligen Dreiecke P^PT enthalten ist, welches man vollendet, wenn man PT= P'T' oder P^T = P^" T fiberträgt
Die Tangenten in Ay^ und C^ stehen vor und nach der Abwicke- lung senkrecht auf den Erzeugenden, die Wendepunkte der Verwan- delten sind B und 2), weil vor der Abwickelung in den ihnen ent- sprechenden Punkten B und D die Schmiegungsebenen, d. i. die E, senkrecht auf den Berührungsebenen des Cylinders stehen (42). Die Tangente BS wird durch ^AB8 ^ ^A"B''A^' = der ersten Grundneigung 8 der E bestimmt. Der Krümmungshalbmesser r' der Verwandelten in A^ (und C^ wird A^A^ = A" A^ erhalten, wenn man B" A^ J. e^ bis A,^ auf A" A^' zieht. Denn ist a^^M! A' der Halbmesser des Grundkreises des Cylinders, so sind die Axen
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IT, 48. Ebener Schniit des Cylindera und Kegels.
der Schnittellipse a : cos € und a, und ihr Krümmungshalbmesser in Ai ist r = a* : (a : cos f) = a cos a; da femer der Winkel der Schmiegungsebene (E) mit der Berührungsebene des Gylinders in -4i, <y == 90^ — € ist, so ergibt sich (41)
r' = r : cos <y = r : sin a = a cot b = -^"-^g . Fig. 27 a.
N- V ^ - ^ ^ " \ ' > .
-\ \^\
Zur Verzeichnung der Verwandelten genügen meistens die Wende- punkte und Scheitel mit ihren Erümmungskreisen.
Die Verwandelte der SchnittJcarve ist eine Sinoide oder Sinuslinie, deren unendlich vielen Wellen man durch das unbegrenzte Abrollen des Gylinders auf einer Ebene erhält. Nimmt man B als Ursprung der rechtwinkligen Koordinaten, BG als xAxe, so daß für P^
BP = x, PPt=y,
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n, 48—49. Ebener Schnitt und Abwickelung des Cylinden.
47
80 ist X = Bog. B'F, also ^ B'M'P' = | ,
P"P/' = y = B"P" . tg fi — a sin |- tg fi.
Ist T der Schnittpunkt der Tangente in Pj mit der a;Axe, so ist die
Subtangente = PT = P'T' = a tg -| unabhängig von £, und femer
tg PTP, = -|r- = cos ^ tg £. ° * subtg a °
49. Aufg, Die Schnitthurve eines beliebigen Cylinders mit einer beliebigen Ebene m bestimmen und ihre bei der Abunckehmg des Cylin- ders entstehende VeruxxndeUe m Jconstruiren,
Aufl. Es sei die
Fig. 27 b.
sei in Fj liegende Ellipse ^PCD mit dem Mittel- punkte M die Leitlinie, BB eine Erzeugende des Cylinders, c^, eg seien die Spuren der Schnittebene E. Um die Schnittpunkte der Er- zeugenden mit der B und zugleich die f&r die Abwickelung notwendi- gen wahren Längen der auf den Erzeugenden abgeschnittenen Stücke zu erhalten, lege man durch dieselben die er- sten projicirenden Ebe- nen, schneide diese mit
E und lege sie dann samt den Erzeugenden und diesen Schnitt- linien in Fl um, wodurch sich die Schnittpunkte beider Linien ergeben. Verfahrt man so mit der Erzeugenden PJß, so gelangt diese nachB'JJ'" (U'JJ'" ± B'B\ B'B'" = Abstand des B" von x), imd die Schnittlinie der projicirenden Ebene mit E nach B^ TJ'" {B^ Schnitt von B'B' mit e^, Q" ein Punkt der e,, Q'TJ' [\ e^] eine mit e^ Parallele in E, U^ ihr Schnitt mit jener projicirenden Ebene, 17'" dessen ümlegung, indem TJ'V" ±B'Tr und -=^Q'Q"\ dabei sind die Abstände des ü" und Q" von x gleich angenommen). B'B'"
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48 II, 49-— 62. Ebener .Sclmitt des Cylinders and Kegels.
und jBg i7'" schneiden sich in B^"y woraus sich die Projektionen J5i' und B^' des Schnittpunktes By der Erzeugenden mit E ergeben. — Für eine andere Erzeugende^ z.B. die aus^l, zieht man j4.'-4/"|| B'By" und Ä^Ai'' || B^B^'\ Man kann sich vorerst mit den vier Punkten A^ B, G^ D der Grundellipse begnügen, welche die End- punkte zweier konjugirten Durchmesser sind, und von denen B und D a:uf dem ersten Umrisse liegen. Die vier erhaltenen Punkte A^^ By, Ci, Dl sind dann ebenfalls Endpunkte zweier konjugirter Durch- messer der Sclinittellipse, in der wahren Gestalt und in den Pro- jektionen.
Die Kurve ^/"J5/"Ci'"D/" ist eine EU^ als affine Figur zur Grundellipse mit A' A"' als Strahl und e^ als Axe, oder als Parallelprojektion von AiByCiDi mit den Sehnen der beim Um- legen jener Hilfsebenen beschriebenen Kreisbogen als parallelen Projicirenden.
50. Zur Bestimmung der wahren GestaU der Schmtthurve lege man B um e^ in P^ um. Die Bahn eines Punktes Bi im Grundriß ist eine auf e^ senkrechte Gerade B^B^^^j und da der Abstand des By vom Punkte B^ der e^ ungeändert bleibt, mache man B^B^^^ = B^Bi"\ Für einen andern Punkt Ai mache man A^A^^^ || B^B^^^ und = A^Ay". Ai^^Ci^^ und B^^B^^ sind konjugirte Durchmesser.
51. Zur Abwickelung einer Fläche ist es stets vorteilhaft eine Kurve derselben zu besitzen, deren Verwandelte eine bekannte Ge- stalt hat. Bei dem Cylinder ist dies eine zu den Erzeugenden senk- rechte Schnittkurve, die zu einer Geraden wird. Wir brauchen von ihr die wahre Gestalt und die Längen der von ihr auf den Er- zeugenden hervorgebrachten Abschnitte, nicht aber die Projektionen* Die Spuren s^, s^ einer senkrechten Schnittebene S sind senkrecht auf den gleichnamigen Projektionen der Erzeugenden, und man erhält ihren Schnittpunkt B^ mit einer solchen, wenn man aus dem Schnittpunkte jB^ derS'JB' mit s^ die Senkrechte B^B^'" auf J5'jB'" fällt, deren Fußpunkt B^" ist; die Senkrechte ist nämlich die Um- legung des Schnittes der ersten projicirenden Ebene von BB mit S. Legt man dann S um s^ in F^ um, so gelangt B^ nach B<^^^ wenn B'B^^ (J_ Sj) die verlängerte erste Projektion einer Erzeugenden und B^B<^^ =« B^B^'\ So erhält man rfie wahre Gestalt des elivptir sehen senkrechten Schnittes mit jd^^^C^^^ und B^^^D/^ als konjugir- ten Durchmessern. Auch A^"B^" ... ist eine Ellipse.
53. Um die Abwickelung zu verzeichnen, trage man die Länge
der senkrechten Scl\nittkurve A^^B^^ . . . sammt ihren konstruir-
ten Punkten mittelst kleiner Bogenstückchen auf einer Geraden nach
Fig. 27b. -42^2 • • • *^f; ziehe durch alle bezeichneten Punkte die zu dieser
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n, 62 - 64. Ebener Schnitt und Abwickelung des Cyliuders. 49
Geraden senkrechten Erzeugenden, übertrage auf sie im entsprechen- den Sinne die wahren Längen der Erzeugenden zwischen deren senk- rechtem Schnitte und der Grundellipse bezw. dem schiefen Schnitte, welche aus deren ümlegung zu entnehmen sind, also B^B = B^''B\ B^B^ = B^''B^'\ so erhält man die Verwandelte AB.,. der Grundellipse und die A^B^ ... des schiefen Schnittes.
63. um die Tangenten an alle erhaltenen Kurven in den Punk- ten jP, F^ einer beliebigen Erzeugenden zu bestimmen, ziehe man die Tangente an die Grundellipse in F' als erste Spur der Berüh- rungsebene des Cylinders nach der fraglichen Erzeugenden. Diese treflfe 5^ in T, e^ in T\ so sind VF^^^ und VF^'\ sowie TF^', TF^iv^ X'f;" und T"F^' die gesuchten Tangenten. Die Tangen- ten an die Verwandelte in F und jF\ bilden mit der Erzeugenden ein Dreieck FF^T, dessen Seiten FT »= i?" r, F^T=FJ^r bekannt sind und zu seiner Verzeichnung in der Abwickelung und dadurch zur Bestimmung der Tangenten dienen. Auch ist in einem bei F^ rechtwinkligen Dreiecke F^V^F^^^V und FV=FV\
54* Als bemerkenswerte Punkte der Kurven wollen wir zuerst diejenigen aufsuchen, in denen die Tangente senkrecht auf der Er- zeugenden des Cylinders steht Für die Grundellipse sind dies K und L. Der ErümmungshaJbmesser der Verwandelten in diesen Punkten ist JTZJj = Jf'O'", wenn K'O' als Krümmungshalbmesser der Grund- ellipse unter Benutzung der beiden Axen nach I, 392, 3) ermittelt, und 0'" auf der umgelegten Cylindererzeugenden durch 0'0'''XK'0' bestimmt vnirde. Denn es ist r = K'0\ 6 = ^ 0'K'0"\ KO'" «= r: cos <y «= r' (41). Es ist dann auch LL^ = KK^. — In dem Schnitte des Cylinders mit E müssen jene auf den Erzeugenden senkrechten Tangenten parallel sowohl zu B als zu S sein, also parallel zu ihrer Schnittlinie, oder zu der Schnittlinie PS zweier Ebenen, die durch einen Punkt P der Pg parallel zu E bezw. zu S gelegt sind. 8' als Schnittpunkt ihrer ersten Spüren ist die erste, P" die zweite Spur der Schnittlinie. Die Berührungsebene des Cy- linders in den fraglichen Punkten muß nun parallel zu PS und außerdem zu PE sein, wenn PE mit den Erzeugenden gleichläuft; also ist jene Berührungsebene parallel zu der Ebene PSEy und ihre erste Spur parallel zu der ersten Spur S'E' dieser Ebene. Die zu S'E' parallel an die Grundellipse gezogenen Tangenten berühren diese in B'yJ'y wenn Durchmesser H'M'X konjugirt zur Richtung S'E'\ es sind dann die Punkte H^y J^ der Verwandelten bestimmt.
Zur Ermittlung der KriimmungshaJbmesser der Verwandelten JJi Hq t= J^Jq s= r bestimmt man zuerst den Krümmungshalb- messer der Ellipse in 5/^ = B^^ B.^^ == r, und dann den Winkel (T
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. II. 4
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50 U, 64—67. Ebener Schnitt des Cy linders und Kegels.
der Schmiegungsebene E mit der Berühr uugsebene nach I, 105. Parallel zu diesen Ebenen sind solche schon durch P gelegt, deren Schnittlinie PS bildet. Die erste Spur einer Winkelebene sei die zu P'S' Senkrechte P'3, welche die ersten Spuren jener Ebenen in 1 bezw. 2 trifft; man mache P'3 ■= P'P", ziehe 35', daran einen berührenden Kreis aus P', welcher die P'S' in 4 schneidet; dann ist ^ 1 4 2 = <y, und r' = r : cos <y = 4 6, wenn auf 14 die 4 5 = r = H^'^H^^'', 6 auf 2 4, ^ 4 5 6 = 90«..
Übungsaufgabe. Man suche die Punkte der Schnittkurve mit E, in welchen ihre Tangente parallel ist mit einer beliebig gegebenen Ebene, und diejenigen, in welchen sie einen beliebig gegebenen Winkel mit der Erzeugenden bildet.
55. Die Wendepunkte der Verwandelten entstehen aus den- jenigen Punkten der Schnittkurve, in welchen die Berührungsebene senkrecht auf der Schnittebene steht (42). Für die Grundellipse trifft dies in den Puxikten B und D zu. Für die Schnittkurve mit E lege man die zu E senkrechten Berührungsebenen an den Cylinder. Ihre Stellung wird durch die zu den Erzeugenden Parallele PE und die zu E senkrechte PN bestimmt; die erste Spur der Ebene dieser Greraden ist E' N\ Die mit ihr parallelen Berührungsebenen be- rühren die Grundellipse in F' und G', wenn Durchmesser 2^' JTö' konjugirt zur Richtung E' K. Daraus bestimmen sich die Punkte jp\ und Gl , welche Wendepunkte der Verwandelten sind. Die Tan- genten in denselben werden nach dem allgemeinen Verfahren be- stimmt und sind, wie stets bei Wendepunkten, besonders vorteil- haft Die Tangente in B wird durch das rechtwinklige Dreieck BB^B^ ^ B'B^^B^, bestimmt.
ni. Ebener Schnitt und Abwickelung des EegelB.
56. Zwei ebene Schnittkurven eines Kegels und ihre Projektio- nen auf dieselbe Ebene sind perspekUv-JcoUineare Figuren, deren Kol- lineationsmittelpunkt und Axe die Spitze des Kegels und die Schnitt- linie beider Ebenen bezw. deren Projektionen sind. Ebenso sind die eine Figur und die ümlegung der anderen in ihre Ebene perspektiv- affin, und haben die Schnittlinie beider Ebenen zur Axe und die Umlegung der Spitze samt einer durch sie parallel zur umgelegten Ebene geführten Ebene in die feste Ebene zum KoUineationsmittel- punkte (I, 305).
57. Aufg. Die Schnitikurve eines mit seiner Axe senkrecht auf Pj stellenden Umdrehungskegels mit einer auf S^ senkrechten Ebene E,
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II, 67—68. Ebener Schnitt und Abwickelnng des Kegels. 51
die wahre Gestalt der Schnittlmrve und die Äbtmckelung des Kegels zu verzeichnen.
Aufl. Je nachdem die E mit keiner^ mit einer oder mit zweien Erzeugenden des Kegels parallel ist; entstellt eine Ellipse^ Parabel oder Hyperbel (I, 329). Die Fälle der Ellipse und der Hyperbel sollen betrachtet werden.
Weil E J_ Pg, ergeben sich die Schnittpunkte der Kegelerzeu- pig. ssa. genden mit E unmittelbar in der zweiten Projektion. Die große Axe der Ellipse liegt in dem auf E senkrechten Meridiane (I, 329), also in dem Hauptmeridiane ASC, die Scheitel sind -4^ und C^. Die auf Fg senkrechte Meridianebene liefert auf den Erzeugenden SB und SD die Schnittpunkte B^ und D^; deren erste Projektionen sich aber hier nicht unmittelbar aus der zweiten bestimmen lassen. Man wendet daher den durch J5/' gehenden Parallelkreis vom Halbmesser Bi'B^ an, dessen erste Projektion die Punkte J5/ und D^ enthält. Die Parallelkreise liefern die dem B^ und D/ benachbarten Punkte genauer, als die Erzeugenden. Die kleine Axe G^H^ der Ellipse hat den Mittelpunkt ö/' von A"G^' zur zweiten Projektion, woraus ihre erste Projektion folgt
Der Grundkreis Ä und die erste Projektion s' des Schnittes sind perspektiv-kollinear mit S' als Mittelpunkt und e^ als Axe der EoUineation. Demnach haben sie das involutorische Büschel zu- geordneter Strahlen aus S' gemein; dasselbe ist aber, wie sich aus dem Kreise ergibt, rechtwinklig; doiher ist S' ein Brennpunkt der ersten Projektion s' der Schnittellipse (I, 388). Der KrümmungshaBh messer von s' im Scheitel A^ der Hauptaxe ist gleich der Ordinate S'B^ in ihrem Brennpunkte (I, 250), gleich dem Parallelkreishalb- messer Bi"B2 von B^. Daher gilt: Die Projektion einer ebenen Schnittkurve eines Umdrehungskegels auf eine zu dessen ümdrehungsaxe senkrechte Ebene hat im Scheitel ihrer Hauptaxe einen Krümmungs- kreis gleich dem Parällelkreise des Kegels, dessen Mittelpunkt in der SchnittAene liegt.
Die zu S' gehörige Leitlinie d' der s' ist die Polare des S' zu s' und entspricht der Polaren des S' zu k\ d. i. der unendlich fernen Geraden der P^. Dieser entspricht in E rhre Projektion d aus S auf E, und von letzterer ist d' der Grundriß.
58. Die wahre Gestalt s'" der Schnittkurve erhält man durch Umlegung der E in F^. Dieselbe ist perspektiv- affin mit s' und perspektiv-kollinear mit k'\ e^ ist jedesmal die Kollineationsaxe. Der Eollineationsmittelpunkt ist im zweiten Falle die Umlegung S'" der Spitze mit der durch sie parallel zu E gelegten Ebene in F|. Die Brennpunkte JF/" und F^" der 5'" ergeben sich aus den Be-
4*
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II, 68—69. Ebener Schnitt des Cylindera und- Kegels.
rührungspunkten der E mit den beiden den^ Kegel eingeschriebenen, die B berührenden Ebenen, und die Leitlinien di und dg ^^^ ^^^ Schnittlinien der E mit den Ebenen der Beröhrungskreise jener Kugeln mit dem Kegel (I, 333).
Fig. 28 a.
<
- + -4-4-^-
Pig. 28b. 69, Die Abwickelung des Kegels ist ein Kreisausschnitt SACA,
dessen Halbmesser SA gleich der Seite (S" A") des Kegels und dessen Bogen ACA gleich dem umfange des Grundkreises J, der durch kleine Liniensttickchen übertragen wird. Der Centriwinkel a «B ASA des Ausschnitts ist durch
SÄ'
360«
bestimmt. Bei der wiederholten Abwickelung kehrt eine Erzeugende in eine ihrer früheren Lagen zurück, wenn a und 360, oder S'A' und SA unter einander kommensurabel sind, sonst nicht.
Von der Verwandelten des Schnittes s erhält man einen beliebigen Punkt wie B^, wenn man bei dem Übertragen von k den Schnitt- punkt B der Erzeugenden SBy mit k bezeichnet, die SB zieht und auf sie die wahre Länge SB^ überträgt, welche man = S^'B^ auf der Umrißerzeugenden zwischen S" und dem Parallelkreise von B^ abgreift
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II, 59—61. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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Bemerkenswerte Punlcte sind die Scheitelpunkte A^ uud Cj, deren Erzeugende SA^ und SC^ Symmetrielinien der s bilden, imd die Wendepunkte. Letztere entstehen aus den Punkten derjenigen Er- zeugenden, für welche die Berührungsebenen senkrecht auf der Schmiegungsebene B stehen, welche also die auf E Senkrechte SE enthalten. Aus ihrer ersten Spur E' ziehe man die beiden Tan- genten an den Grundkreis, welche in J und K berühren, bestimme
auf den Erzeugenden SJ und SK die Punkte J^ und Zj, so werden aus ihnen die Wendepunkte der Verwandelten.
Fällt E' innerhalb des Grundkreises, so giht es keine reellen Wendepunkte, fällt E' auf den Grundkreis in A\ so fallen beide Wendepunkte in -4' in einander. Mit dem Linienelemente in A^ föUt dann ein benachbartes auf jeder Seite in eine Gerade, die Tangente hat drei Elemente mit der Kurve gemein oder berührt vierpunktig, und der Punkt ist ein Flachpunkt (I, 246).
60, Die Tangente an die Schnittkurve in einem Punkte J^j als Schnitt der E mit der Berührungsebene des Kegels in J^y hat ihre erste Spur T im Schnittpunkte von e^ mit der Tangente des Grund- kreises in J\ Durch T geht dann auch die Tangente der wahren Gestalt in eT"/". Die Tangente der Verwandelten in J^ erhält man durch Übertragung des Winkels der Tangente mit der Berührungs- erzeugenden, oder durch Übertragung des denselben enthaltenden bei J rechtwinkligen Dreiecks eTieTT, dessen Seiten gleich eT^eT, J'T, Tj;" sind.
61. Der Krümmungshalbmesser r' der Venmndelten wird nach Nr. 41 = r : cos <y bestimmt. Am leichtesten zu bestimmen und am nützlichsten sind die r' in den Scheiteln -ij und O^. Für die Ellipse
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II, 61—62. Ebener Schuitt des Cylinders und Kegeis.
sind die Erümmungshalbmesser r = A^" A^" als }? : a zu ermitiehi. Die (spitzen) Winkel 6 der Schmiegungs- mit der Berübrongsebene sind aber in A^ und G^ bezw. C;' A" A!' und A^'C^S". Trägt man daber auf A^'C^ die -dl/'J-g == C/'Cg = r auf, zieht A^A^ und C2C3 senkrecht zu A^'C^' und schneidet sie bezw. mit A(' A!\ Ci'S" in -^3, Cj, so sind die r' bezw. = A^'A^ = -4.-4o, Ci^Cj
Fig. 29 a.
jy C t*,-'-7gr"-:^- ^/
Fig. 29a. 63, Der hyperbolische Schnitt. Die beiden Kegeläste werden
von E getroffen und sind daher beide dargestellt; sie seien begrenzt durch zwei Parallelkreise von etwas verschiedener Größe, nämlich durch AB in F^ und durch A^B^. Die E schneidet die Ebenen dieser Kreise in e^ und e^, so daß durch jede dieser Geraden auf einem der Grenzkreise zwei Punkte der Hyperbel bestimmt werden. Die Scheitel sind A^ und B^,
Die Asymptoten werden als Tangenten in den unendlich fernen
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Ily 62. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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Punkten bestimmt. Diese Punkte liegen auf den Erzeugenden SC und SD, welche in einer durch S parallel zu E gehenden Ebene erhalten werden; die Berührungsebene des Kegels in einem jener Punkte, z. B. in dem auf SC, schneidet die Grenzebenen des Kegels in den Kreistangenten in C und Cg, welche die Spuren e^ und e^ in Punkten (deren einer G ist) treffen, deren Verbindungslinie die mit CC^ parallele Schnittlinie der Berührungsebene mit E, oder die eine Asymptote bildet Die andere läuft mit DD^ parallel.
Mit diesen Punkten und denjenigen J^ und K^, welche Wende- punkte der Verwandelten werden, kann man sich begnügen. Letztere erhält man durch die zu E Senkrechte SE^, welche die obere Grenz- ebene in E^ schneidet; die Tangenten aus E^ an den oberen Kreis liefern Berührungspunkte, deren Erzeugende die Wendepunkte der Verwandelten enthalten. Die Tangente K^T ia einem derselben ist bestimmt In der Figur fallt zufallig S'K^' mit S'D' in dieselbe Linie.
S' ist wieder ein Brennpunkt der ersten Projektion der Hyperbel und d' die zugehörige Leitlinie,
Die ümlegung der E in P^ liefert wieder die tmhre Gestalt mit den Brennpunkten jP^, F^ und den Leitlinien d^, d^.
Die Abwickelung ist so ausgeführt, daß diejenige des unteren Fig. 99 b. Flächenastes SB AB von der des oberen SB^A^B^ teilweise zuge- deckt wird. Die Stücke AS und SA^ einer Erzeugenden bleiben in einer Geraden ASA^. Weil der Kegel nach BSB^ aufgeschnitten ist, wird die Verwandelte des unteren Hyperbelastes in zwei Teile
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II, 62—63. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
getrennt; die des oberen bleibt unzertrennt. Die Punkte und Tan- genten werden, wie vorhin bei der Ellipse, übertragen, wobei die Asymptoten besonderer Beachtung bedürfen. Man übertragt die mit ihnen parallelen Erzeugenden, so CSC^, zieht die Kreistangenten in allen vier Endpunkten derselben, gibt allen die gleiche Länge CG = C'G' und verbindet die Endpunkte durch Parallele zu den Erzeugenden, so zu CC^, so sind dies die Asymptoten. Die Krüm- mungshalbmesser für die Scheitel findet man wie vorhin als Ä^Ä^ = Ä^^'Ä^ und B,Bq = J^/'-Bi.
63. Aufg. Die Schnittkurve eines schiefen Kreiskegels mit einer Ebene, deren währe Gestalt und die Abwickeltmg des Kegels zu ver- zeichnen.
Indem wir zweckmäßig zwei parallele Spur- und Projektions- ebenen anwenden (I, 112), geben wir den Kegel durch seinen in Fig. 80a. Pj liegenden Spurkeis i', durch die Projektion S' der Spitze und
Fig. 80 a.
r:
T,\
3^^
'>7f
I
I
\ I
'K
S"
deren Hohe a über P^, und die Schnittebene E durch ihre Spur e^ in P^ und die damit parallele Projektion e^ ihrer Spur (e^) in einer parallel zu Pj durch S gelegten zweiten Spurebene P^.
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II, 63—64. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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Aufl. Man erhält einen allgemeinen Punkt Pj der Schnittkurve s und deren Tangente t in demselben^ indem man durch die nach einem Kreispunkte P laufende Erzeugende PS eine Hilfsebene, am besten die Berührungsebene des Kegels legt, deren erste Spur t^ den Ereis in P' berührt, und deren zweite in der Projektion als ^ durch S' parallel zu t^ läuft. Der Schnitt dieser Ebene mit E ist die Tangente t' = T^T^ der Kurve s\ wenn T^^^e^t^, Tg = ^^2? imd der Schnitt der t' mit PS' ist der gesuchte Punkt P/.
Einen Durchmesser der s erhält man, wenn man eine Hilfs- ebene ÄjÄg durch S legt, deren Äj ein auf e^ senkrechter Durch- messer A'M'G von V ist. Dadurch ergeben sich die Schnittpunkte A^,C<^ der Erzeugenden A' S\C'S' mit der Geraden {c^^hy^h^* Die Tangenten in A^^C^ sind parallel zu e^\ der zu A^C^ konjugirte Durchmesser geht || e^ durch die Mitte 0/ von A^C^ und wird als B^D^ erhalten, wenn man 0/ aus 8' auf A'C nach 0' projicirt,
Fig. 80 b.
\^
■;.V:t;
die Kreissehne B'O'D' \ e^ zieht, und B'D' aus S' nach JB/D/ projicirt
64. Um die wahre Gestalt der Schnittkurve zu erhalten, legt man B um e^ in P^ um. Die durch S ±e^ geführte Ebene hat h^ (JL Ci) zur ersten Spur und schneidet die c, und e^ bezw. in E^ und JE^j legt man sie um Ä, in P^ um, so gelangt (E^) nach JBg" auf e^, wobei E^E^" gleich der Höhe a des Kegels. Bei der ümlegung
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58 II, 64—66. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
von B in Pi gelangen (E^) nach i;/" auf h^ {E^E^" =- ^i^A (^2) nach Ca'" (I ^ durch E{'), (t) nach ^'"= T^ T/", (T/" auf ß,'", i; T/" ± e,) und (P,) nach P/" auf ^'" (P/P/" -L e,). Auf solche Weise bestimmt man die konjugirten Durchmesser J./" C/", JBi'" Dj'" der umgelegten Ellipse s'", und kann Unsicherheiten der Schnitt- punkte stets durch sichernde Verbindungslinien (wie durch A^" D/" vermittelst ihrer Schnittpunkte mit e^ und ßg'") beseitigen. — Die Umlegung s'" der Schnittkurve ist mit dem Grundkreise k' per- spektiv-kollinear mit e^ als Axe und 8'" als Mittelpunkt, wenn auf Äa die S'S'''^E^E^" gemacht wird (I, 305).
65« Zur Verzeichnung der AbwicJcelung wollen wir, neben einem später zu benutzenden Verfahren, hier das nächstliegende, schon von Fr^zier (s. I, 20) angegebene, anwenden, das, einfach und, mit Vor- sicht gebraucht, ebenfalls genau ist. Man teilt den Grundkreis h\ ausgehend von dem Durchmesser 5' 12' M' 0' in eine gerade Anzahl (hier 24) gleicher Teile, deren Bogen- und Sehnenlänge nur un- merkbar verschieden sind, und bestimmt die wahre Länge der von den Teilungspunk4;en ausgehenden (paarweise gleichen) Erzeugen- den; eine solche ist z. B. für den Teilungspunkt 2' gleich 5" 2'", wenn S'S" _L h^ und = a, und S' 2'" auf h^ = S' 2'; SO"' sei die Fig.sob. größte. Mit allen diesen wahren Längen als Halbmessern ziehe man für die Abwickelung Kreise aus einem Punkte S, wähle auf dem größten den Punkt 0 und trage von ihm aus zwischen den auf- einander folgenden Kreisen die Teillänge 1 : 24 des Kreises weiter. Die Verbindungslinie der Zirkelstiche ist die Verwandelte des Grund- kreises. Bildet ein Element mit der Erzeugenden einen kleinen Winkel, so tritt Unsicherheit ein, z. B. bei Punkt 8; man beseitigt dieselbe, indem man beachtet, daß in der Abwickelung der senk- rechte Abstand des 8 von S 7 die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist, dessen Katheten (Fig. 30a) die Abstände des 8' von S'V und des 8"' von Ä" 7'" sind.
Die Verwandelte der Schn^itihurve erhält man durch die Punkte der s' auf den Erzeugenden der Kreisteilungspunkte, wie des 2i' auf S' 2\ Man bestimmt, allein mittelst des Handzirkels, 2^'' auf S" 2'" so, daß sein Abstand von Ä'iS"== ^'2/, und überträgt dann in die Abwickelung 82^= /S"2/". — Die Tangenten PT^, P^ T^ in zwei entsprechenden Punkten P und P^ von k und s in der Ab- wickelung erhält man durch Übertragen des Dreiecks (PP^T^), in- dem man die Linien P T, P^ 2\ in der Abwickelung bezw. gleich ri^^P^^'T, macht
66. Bemerkensioerte Punkte der Verwandelten k und s. Die Punkte der k, in denen die TangerUen senkredit auf den Erzeugenden
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II, 66-67. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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sieben, sind 0 und 12. Die Krümmungshalbmesser der Je in den- selben sind = Jf'O' : cos ö (41), also bezw. = O'^'O^ und 12'" 12^, wenn auf \ die S' M" ^ S' M' aufgetragen, Jf'" 0^122 J_ Ä^ ge- zogen und mit S" 0'" und iS"12'" bezw. in O2 und 12^ geschnitten wird. O'^Og und 12'" 12^ überträgt man dann in Fig. 30b nach OO^j und 12 12o. — Die Wendepufikte der i, wie TT, entstehen aus den Berührungspunkten der Kegelumrisse mit h\ wie TT', indem hier die Berührungsebenen des Kegels senkrecht auf der Schmie- gungsebene F^ von Ic stehen. Die Tangente in W berührt einen aus S mit dem Halbmesser a gezogenen Kreis, weil das bestim- mende Dreieck W' S' (S) rechtwinklig wird. — Die Wendepwnkte Ui , F| der s in der Abwickelung entsprechen denjenigen Punkten (t/i), (F,) der 5, in welchen die Berührungsebenen des Kegels J_ E stehen. Man erhält sie, indem man aus {S) die {SN) J_ E fällt und ihre Spur J^ in Pj sucht {S" N ± E^E^\N auf Ä^), von N zwei Tangenten an Tc' legt, deren Berührungspunkte U\ V sind, woraus f7/, V^ auf s' bestimmt werden können. Doch sind die letzteren Punkte entbehrlich; man bestimmt in der Abwickelung ü^ als Schnitt der US mit 5, und die Tangente Z7X an Ä;, indem man in der Projektion die NU' mit e^ in X' schneidet, und in der Ab- wickelung das Dreieck SUX verzeichnet, worin ?7X= U' X\ SX gleich dem wahren Abstände der Kegelspitze (S) von X' («= S" X^y wenn X^ auf h^ und S^X^ = S'X'). Dann ist auch UiX die Tan- gente der s in ihrem Wendepunkte üi (und U^ X Fig. b) = ?//" X' in Fig. a)).
67. Äufg. Auf einem Kegel zweiten Grades die Kreisschnitte zu bestimmen,
Aufl. Legt man durch die Spitze S des Kegels senkrecht zur Ebene eines Kreisschnittes durch dessen Mittelpunkt eine Ebene, so ist diese eine Symmetrieebene des Kreises und des Ke- gels. Die Ebene eines Kreisschnittes steht daher senkrecht auf einer Symmetrie- oder Axenebene des Kegels, und diese müssen zur Auflösung der Aufgabe gegeben sein oder bestimmt werden (23). Es sei SM die innere Axe, MA «=» a die große und MB=^ b die kleine Halbaxe eines darauf senkrech- ten (elliptischen) Schnittes des Kegels. In der Figur bilde die Ebene der Ellipse BA^i die Grundriß-, diejenige des Haupt- schnittes BSBi die Aufrißebene (P^ und
Fig. 31.
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60 n, 67—68. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
Pj), in welche auch der Hauptschnitt ÄSA^ um SM nach ÄSA^ umgelegt sei. Auf der zu SM senkrechten Hauptebene kann eine Kreisschnittebene nicht senkrecht stehen, weil solche Ebenen hyper- bolische Schnitte liefern. Vielmehr erhält man Kreisschnittebenen senkrecht auf der Hauptebene BSB^ und die Kreise sind die Schnitte des Kegels mit Kugeln, deren Mittelpunkte auf SM liegen, und welche die Erzeugende SÄ und dann auch die SÄ^ und den Kegel berühren. Die größten Kreise einer solchen Kugel in den beiden Hauptebenen fallen nach deren Zusammenlegung in der Zeichnung zusammen. Der Kreis berührt SA' und SA^ bezw. in C und (7/ und schneidet die SB und SB^ bezw. in D, JE^ und Di, E^, Die Projektion von C und Ci liegt aber im Schnittpunkte Cq der Sehnen DE^ und D^E, weil die Polare C'C^' von S zu dem Kreise durch Cq gehen muß. Die Ebene, welche die vier Punkte D, E^, C,Ci enthält, schneidet aber die Kugel in einem Kreise, und den Kegel in einem Kegelschnitte, welcher mit dem Kreise zusammenfallt, weil er mit ihm jene vier Punkte und ' die Tangenten in C und C^ gemein hat, da Kegel und Kugel in C und Gl gemeinschaftliche Berührungsebenen besitzen. — So sind durch einen die SA' und SA^^ berührenden Kreis die Stellungen DEi und D^E der Kreisebenen des Kegels bestimmt
Kreisschnittebenen, die senkrecht auf der Hauptebene ASA^ ständen, kann es aber nicht geben, weil durch zwei solche in Bezug auf die Ebene BSBi symmetrische Kreise wieder eine Kugel gehen müßte, welche die Erzeugenden SB und SB^ berührte und diejeni- gen SA, SA^ schnitte, was offenbar unmöglich.
Man bemerkt, daß alle Kreisschnittebenen zur Axe des Kegels gleich geneigt sind, und daß in der zu den Kreisschnittebenen senk- rechten Hauptebene zwei Kegelerzeugende und die Geraden irgend zweier untereinander nicht parallelen Kreisschnittebenen ein Kreis- Viereck bilden, weil die Summe je zweier Gegenwinkel sich zu zwei oder zu vier Rechten ergänzen. Man nennt zwei solche Kreisschnitt- ebenen im Kegel anüparaXld.
68. übtmgsaufgäben,
1) Von einem Umdrehungskegel sind die Projektion S' und die Höhe der Spitze über P^, sowie die ersten Spuren dreier Erzeugen- den gegeben, man soll die erste Spur eines Kreisschnittes des Kegels finden. Es geschieht durch Abtragen dreier gleichen Längen auf den Erzeugenden YOh der Spitze aus. Auf dieser Auflösung beruht das Verfahren des Hygimis (de limitibus) zur Bestimmung des Meri- dians aus drei Sonnenstrahlen*).
♦) S. die Auslegung der betreffenden Schriffcstelle durch den Verf.^in der Zeitschr. für Vermessungswesen (Stnttg. 1875), B. 4, S. 299 u. 366.
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II, 68—69. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels. 61
2) Von einem ümdrehungscylinder oder Kegel sind drei Erzeu- gende je durch ihre beiden Projektionen gegeben; man soll seine Schnittlinie mit der Halbirungsebene B^ (I; 66) verzeichnen und die Axen ihrer Projektionen und ihrer wahren Gestalt bestimmen.
3) Einen Eegel^ der durch seinen Schnitt mit der Halbirungs- ebene Hg und die beiden Projektionen seiner Spitze gegeben ist^ mit einer gegebenen Ebene zu schneiden.
4) Einen Kegelschnitt h zu verzeichnen , von welchem drei Punkte und ein Brennpunkt F gegeben sind. Man betrachtet k als die Projektion eines ebenen Schnittes eines ümdrehungskegels, dessen Spitze sich in F projicirt, oder als die perspektiv-koUineare Figur eines Kreises, welcher F zum Mittelpunkte hat
69. Atifg. Dwch zwei gegebene Punkte P und Q eines Um- drehungskegels die geodätische Linie m legen und ihre ausgezeichneten Punkte und Tangenten zu bestimmen.
Wir wollen zunächst annehmen, daß die beiden Punkte auf demselben Aste des Kegels liegen, und daß von den verschiedenen Fig. 32a. geodätischen Linien diejenige genommen werden soll, deren Bogen zwischen P und Q der kleinste ist.
Aufl. Die Axe des Kegels stehe J_ Pj*, aus den gegebenen Pro- jektionen P' und Q' bestimme man P" und Q'' auf demselben (unteren) Flächenaste. Eine geodätische Linie wird bei der Ab- wickelung zu einer geraden. Daher bilde man die Abwickelung des Fig. 82 b Kegels, in welcher P und Q so oftmal vorkommen, als Abwicke- lungen des gafazen Kegelmantels aneinander gereiht sind, also un- endlich oft oder eine endUche Anzahl mal , je nachdem der Winkel der Abwickelung des einfachen Kegelmantels mit 360^ kommensurabel ist oder nicht. Jede Verbindungsgerade eines P mit jedem Q wird beim Wiederaufwickeln auf den Kegel zu einer geodätischen Linie, die, je nachdem der eine oder der andere jener Fälle eintritt, un- endlich oft oder eine endliche Anzahl mal durch das unendliche hindurch von dem einen zum andern Kegelaste übergeht. Die kür- zeste dieser Strecken PQ verbindet zwei Punkte P und Q, zwischen welchen weniger als ein halber Kegel, oder höchstens ein solcher liegt, und diese Gerade erzeugt die verlangte Kurve. Die Aufwickelung wird auf dem umgekehrten Wege, wie in Nr. 59 die Abwickelung, vorgenommen. 8 ist die Spitze, A^B^C^^D^ ein Parallelkreis k des Kegels.
Bestimmen wir die ausgezeichneten Punkte der Kurve.
1) Der nächste Punkt E bei der Spitze liegt in der Abwickelung auf der zu PQ senkrechten Erzeugenden SE^.
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IT, 69. Ebener Schnitt des Cylinder« and Kegels.
|
Fig. |
32 a. |
|
|
V 1 |
ji |
/ |
|
\ \ |
ii li . // |
// / |
2) Die Doppelpunkte F liegen in dem durch E gehenden Meri- diane; denn dessen Ebene ist die Symmetrieebene der Kurve, weil in der Abwickelung SE die Symmetrielinie der PQ ist Man über- trage daher in die Abwickelung Bogen E^F^ = Halbkreis E^F^'.
3) Die unendlich fernen Pu/nkte liegen auf den zu PQ parallelen Erzeugenden SG^ und SH^ der Abwickelung. Die Tangente in einem Punkte, z. B. die beiden im Doppelpunkte i^, erhält man durch Übertragen des recht- winkligen Dreiecks FF^T und des damit kongruenten FF^U. Entsprechend findet man die Asymptoten parallel mit den Erzeugenden SG^ bezw. 8H^ und gehend durch die Punkte J bezw. K der Ejreistangente in G^ und H^, wenn die Langen G^ J' =» J?/ K'= öl Jaus der Ab- Wickelung übertragen werden. Den KrümmungshalbmeS' ser im Scheitel E' des Grund- risses findet man im Aufriß = E^E^, wenn man den Parallelkreis von E" mit dem Kegelumriß in E^ schnei- det, Ey E^ senkrecht zu die- sem Umriß bis zu E^ auf der Kegelaxe zieht, und E^ E^ als Halbmesser des Parallel- kreises von E^ nimmt. Denn dreht man den Symmetrie- meridian 8E in den Haupt- meridian, so ist Ey E^ die zweite Projektion der auf SE^ senkrechten Schmiegungsebene der geodätischen Linie (42); sie schneidet den Kegel in einem Kegel- schnitte, dessen Krümmungshalbmesser in E mit dem gesuchten übereinstimmt und in der angegebenen Weise gefunden wird (57). Durchschreitet man in der Abwickelung den unendlich fernen
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n, 69—70. Ebener Schnitt nnd Abwickelung des Kegels.
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Punkt der Geraden PQy so geht man entsprechend bei dem Eegel durch das Unendliche von dem einen zum andern Aste über. Die auf den beiden Kegelästen befindlichen Eurvenäste sind als Auf- wickelungen derselben Geraden mit einander kongruent Lägen die beiden gegebenen Punkte P und Q auf den verschiedenen K^elästen, so müßte man in der Äbunckelung beider Äste durch die verwan- delten Punkte P und Q die Gerade legen.
70. Die Wendepunkte der Projektionen der Kurve m bestimmen. Verfolgt man den Lauf der Kurve, so bemerkt man, daß weder der
Fig. 32 b.
Punkt, noch die Tangente, noch die Schmiegungsebene ein Rück- kehrelement besitzt. Doch bedarf die Asymptote noch einer Er- örterung, die bei der Untersuchung der Rückkehrelemente (I, 257) nicht angestellt wurde. Es scheint nämlich nach dem Aufriß, als ob bei unserer Kurve, ebenso wie bei der Hyperbel, die Tangente den Sinn ihrer Drehung in der Schmiegungsebene in der Asymptote wech- sele, und als ob zugleich der Punkt, ohne den Sinn seines Fortschrei- tens zu ändern, in dem unendlich fernen Punkte die Seite der Tan- gente, auf welcher er sich befindet, vertausche. Nach jedem dieser Anzeichen müßte der unendlich ferne Punkt als Wendepunkt ange- sehen werden. Da aber der Durchgang eines Punktes durch einen unendlich fernen, uneigentlichen Punkt nicht unmittelbar mit dem- jenigen durch einen endlich fernen, eigentlichen Punkt verglichen
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64 II, 70. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
werden kann, so stellen wir, wie früher bei dem Begriffe des be- stimmt ünendlichgroßen (I, 72 — 74), eine Beziehung zu dem End- lichen her, und zwar in stetiger Weise eine projektive Beziehung, indem wir unsere Kurve als die Projektion einer zweiten Kurve be- trachten, derart, daß dem unendlich fernen Punkte in der ersten ein endlich ferner Punkt in der zweiten entspricht. Indem wir die Schmiegungsebene unserer unebenen Kurve in ihrem unendlich fernen Punkte durch die Ebene einer ebenen Kurve ersetzen, wollen wir unsere Vorstellung auf eine Hyperbel richten, und diese als die Projektion eines Kreises ansehen. Ziehen wir aus dem Projek- tionsmittelpunkte einseitig den projicirenden Strahl und lassen ihn auf dem Kreise hingleiten, bis er mit der Ebene der Hyperbel parallel wird, also ihren unendlich fernen Punkt projicirt, und setzen dann die Bewegung des einseitigen Strahles auf dem Kreise hin in stetiger Weise fort, also ohne seinen Sinn umzukehren, so trifft derselbe die Projektionsebene erst, nachdem er einen unendlich fernen Punkt des Baumes durchschritten hat; er gelangt demnach von der anderen Seite her, als zu Anfang, auf die Projektionsebene, so daß die Kurve beim Durchschreiten durch das Unendliche die Seife ihrer Schmiegungsebene wechselt^ auf welcher sie liegt Betrachten wir auch die Kurve stets im Sinne des projicirenden Strahles, so ändert sich der Drehungssinn der Tangente beim Durchgang durch die Asymptote nicht; und denkt dabei der Beschauer seine Figur mit dem Kopfe voran in der Richtung der Kurve hinschwimmen, so ändert sich auch die Seite der Tangente, auf welcher die Kurve liegt, beim Durchgang durch den unendlich fernen Punkt nicht — Indem wir so die Eigentümlichkeit der Bückkehrelemente zu einer pro- jektiven Eigenschaft gemacht hohen y bleibt das Kennzeichen des Rück- kehrelementes der Tangente, daß sich in ihr deren Drehungssinn umkehrt, auch für die im unendlich fernen Punkte berührende Asymptote erhalten, wobei nur zu beachten, daß die Kurve beim Durchgang durch den unendlich fernen Punkt die Seite der Ebene wechseli Insbesondere sind der unendlich ferne Punkt der Hyperbel und derjenige der geodätischen Linie des Umdrehungskegels keine Wende- punkte, sondern gewöhnliche Punkte.
Wenn nun die geodätische Linie des Umdrehungskegels kein Rückkehrelement besitzt, so ist im allgemeine^ auch die Projektion eines Elementes* kein Rückkehrelement (I,